上昇時間

在電子學中，若要描述一電路在電壓（或电流）阶跃函数下的反應，可用上昇時間（rise time）表示。上昇時間是信號從特定低準位上昇到特定高準位需要的時間^[1]，值可以用相對參考輸入的比率^[2]或是百分比^[3]來表示。在模拟电路中，其較低百分比及較高百分比多半會是輸出阶跃高度的10%及90%（或 $0.1$ 及 $0.9$ ）^[4]。不過，也常會使用其他的值^[5]若是在控制理論中，依照Levine (1996，第158頁)，上昇時間定義為「響應從終值的 $x%$ 上昇到 $y%$ 所需要的時間」，若是欠阻尼的二階系統，常會以0%至100%的上昇時間為準，若是臨界阻尼系統，則會是5%至95%的，過阻尼系統會是10%到90%的上昇時間^[6]。依照Orwiler (1969，第22頁)，上昇時間可以用在階躍上昇或是階躍下降的階躍響應，不過階躍下降的場合，有時也會稱是下降時間。^[7]，

簡介

上昇時間是高速電子電路中重要的類比參數，可以量測在高速輸入信號時，系統響應的能力^[8]。針對電路、產生器、資料量測及傳輸設備的上昇時間，已有許多的方法可以進行縮減。這些縮減也開始了更高速電子元件或電路的研究，以及研究如何減少電路中的雜散元件（多半是電感及電容）。不過在高速電子學的領域之外，有些應用會希望有較長的上昇時間，例如燈光的調光器（英语：dimming），其上昇時間較長會延長燈泡的壽命，或是用數位信號控制類比開關（英语：analog switch），較長的上昇時間表示流經雜散電容的量會比較少，因此耦合產生的噪音也會比較少。。

影響上昇時間的因素

針對給定系統的輸出，其上昇時間和輸入信號的上昇時間有關，也和系統特特性有關^[9]。

例如，電阻性電路的上昇時間主要會和雜散電容及雜散電感有關。因為所有電路都不只有电路性的元件，也會有電容性或電感性的元件，在負載到達穩態之前，會有電壓及（或）電流的延遲。若是純RC電路，輸出的上昇時間（10%至90%）約是電阻值（單位為歐姆）和電容值（單位為法拉）乘積的2.2倍， $2.2 RC$ ^[10]。

其他定義

有關上昇時間，也有其他和Levine (1996，第158頁)不同的定義，偶爾會出現：^[11]。這些定義的差異不只是參考準位的不同，也有些有不同的算法。例如有一種上昇時間的定義是考慮階躍函數響應50%時的切線，再繪圖計算和X軸的截距得到上昇時間，偶爾會用到這種定義^[12]。另一種定義是由Elmore (1948，第57頁)引入^[13]，用到概率论及统计学的概念。考慮階躍響應 $V (t)$ ，重新定義傳播延遲 $t D$ 為一次导数 $V' (t)$ 的矩，也就是

t_{D}={\frac {\int _{0}^{+\infty }tV^{\prime }(t)\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}}.

最後，用以下的二次矩來定義上昇時間 $t r$

t_{r}^{2}={\frac {\int _{0}^{+\infty }(t-t_{D})^{2}V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}}\quad \Longleftrightarrow \quad t_{r}={\sqrt {\frac {\int _{0}^{+\infty }(t-t_{D})^{2}V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}}}

典型系統的上昇時間

符號及標示

所有分析用到的符號及假設條列如下：

根據Levine （1996, p. 158, 2011, 9-3 (313)），定義 $x%$ 為低準位的百分比， $y%$ 為高準位的百分比，參考基準都以要量測上昇時間信號的參考信號為準。
$t 1$ 是待分析系統的輸出到達穩態值 $x%$ 的時間，而 $t 2$ 是輸出到達穩態值 $y%$ 的時間，兩者單位都是秒。
$t r$ 是待分析系統的上昇時間，單位也是秒。依照定義

t_{r}=t_{2}-t_{1}.

$f L$ 為待分析系統較低截止頻率（-3 dB點）的值，單位為赫兹。
$f H$ 為待分析系統較高截止頻率的值，單位也是赫兹。
$h (t)$ 是待分析系統在時域下的冲激响应。
$H (ω)$ 是待分析系統在頻域下的频率响应。
带宽定義為

BW=f_{H}-f_{L}\,

因為較低的截止頻率

f L

往往遠小於較高截止頻率

f H

，因此

BW\cong f_{H}\,

所有分析的系統，其頻率響應都延伸到 $0$ （低通系統），因此

f_{L}=0\,\Longleftrightarrow \,f_{H}=BW

。

為了簡化起見，所有「計算上昇時間的簡單範例」章節中分析的系統都是增益為1的电路，所有信號都假設是電壓：輸入是 $V 0$ 伏特的阶跃函数，因此

{\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}={\frac {x\%}{100}}\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}={\frac {y\%}{100}}

$ζ$ 是特定二階微分方程的阻尼比， $ω 0$ 則是自然頻率。

計算上昇時間的簡單範例

此章節的目的是計算一些簡單系統階躍響應的上昇時間。

高斯響應系統

系統具有高斯響應的條件是其頻率響應特徵如下

|H(\omega )|=e^{-{\frac {\omega ^{2}}{\sigma ^{2}}}}

其中 $σ > 0$ 為常數^[14]，和高截止頻率有以下的關係：

f_{H}={\frac {\sigma }{2\pi }}{\sqrt {{\frac {3}{20}}\ln 10}}\cong 0.0935\sigma .

即使這類的頻率響應無法用因果濾波器（英语：causal filter）實現^[15]。其用途是因為其系統特性可以用多個一級低通滤波器級聯連結而得，其精度會隨著個數增加而變好^[16]。對應的冲激响应可以用频率响应的反傅里叶变换計算而得。

{\mathcal {F}}^{-1}\{H\}(t)=h(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{e^{-{\frac {\omega ^{2}}{\sigma ^{2}}}}e^{i\omega t}}d\omega ={\frac {\sigma }{2{\sqrt {\pi }}}}e^{-{\frac {1}{4}}\sigma ^{2}t^{2}}

直接代入階躍響應的定義

V(t)=V_{0}{H*h}(t)={\frac {V_{0}}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\frac {\sigma t}{2}}e^{-\tau ^{2}}d\tau ={\frac {V_{0}}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t}{2}}\right)\right]\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {V(t)}{V_{0}}}={\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t}{2}}\right)\right].

為了要確認系統由10%上昇到90%需要的時間，需要求解以下方程：

{\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.1={\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t_{1}}{2}}\right)\right]\qquad {\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.9={\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t_{2}}{2}}\right)\right],

利用误差函数的定義，可以找到 $t = - t 1 = t 2$ 的數值，因為 $t r = t 2 - t 1 = 2 t$ ,

t_{r}={\frac {4}{\sigma }}{\mathrm {erf} ^{-1}(0.8)}\cong {\frac {0.3394}{f_{H}}},

因此

t_{r}\cong {\frac {0.34}{BW}}\quad \Longleftrightarrow \quad BW\cdot t_{r}\cong 0.34.

^[17]

一階低通RC電路

針對一階低通RC電路^[18]，10%至90%的上昇時間和網路時間常數 $τ = RC$ 成正比：

t_{r}\cong 2.197\tau \,

比例常數可以用輸入信號為 $V 0$ 的阶跃函数時，系統的阶跃反應而得：

V(t)=V_{0}\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)

求解時間

{\frac {V(t)}{V_{0}}}=\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {V(t)}{V_{0}}}-1=-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\quad \Longleftrightarrow \quad 1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}=e^{-{\frac {t}{\tau }}},

最後可得

\ln \left(1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}\right)=-{\frac {t}{\tau }}\quad \Longleftrightarrow \quad t=-\tau \;\ln \left(1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}\right)

而 $t 1$ 及 $t 2$ 滿足以下條件

{\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.1\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}=0.9,

求解方程可得 $t 1$ 和 $t 2$ 的解析式

t_{1}=-\tau \;\ln \left(1-0.1\right)=-\tau \;\ln \left(0.9\right)=-\tau \;\ln \left({\frac {9}{10}}\right)=\tau \;\ln \left({\frac {10}{9}}\right)=\tau ({\ln 10}-{\ln 9})

t_{2}=\tau \ln {10}\,

上昇時間和時間常數成正比^[19]：

t_{r}=t_{2}-t_{1}=\tau \cdot \ln 9\cong \tau \cdot 2.197

另外，根據

\tau =RC={\frac {1}{2\pi f_{H}}},

則

t_{r}={\frac {2\ln 3}{2\pi f_{H}}}={\frac {\ln 3}{\pi f_{H}}}\cong {\frac {0.349}{f_{H}}},

因為上截止頻率等於頻寬

t_{r}\cong {\frac {0.35}{BW}}\quad \Longleftrightarrow \quad BW\cdot t_{r}\cong 0.35.

^[17]

另外，若考慮20%至80%的上昇時間， $t r$ 會變成：

t_{r}=\tau \cdot \ln {\frac {8}{2}}=(2\ln 2)\tau \cong 1.386\tau \quad \Longleftrightarrow \quad t_{r}={\frac {\ln 2}{\pi BW}}\cong {\frac {0.22}{BW}}

一階低通LR電路

等於一個簡單的一階低通RL電路，其10%至90%的上昇時間和電路時間常數 $τ = .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}L⁄R$ 成正比。其和RC電路的差異只在於不同電路中時間常數 $τ$ 的表示方式不同。因此可得到下式

t_{r}=\tau \cdot \ln 9={\frac {L}{R}}\cdot \ln 9\cong {\frac {L}{R}}\cdot 2.197

阻尼二階系統

根據Levine (1996，第158頁)，控制系統中欠阻尼系統的上昇時間定義為輸出從0%到達終值100%的時間^[6]。二階欠阻尼系統的上昇時間如下^[20]：

t_{r}\cdot \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\left[\pi -\tan ^{-1}\left({\frac {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}{\zeta }}\right)\right]

沒有零點的二階系統，其階躍響應下的正規上昇時間可以二次函数近似如下：

t_{r}\cdot \omega _{0}=2.230\zeta ^{2}-0.078\zeta +1.12\,

中 $ζ$ 是阻尼比， $ω 0$ 是電路的自然頻率。

級聯模組的上昇時間

考慮 $n$ 個非交聯的級聯模組組成的系統，每一個的上昇時間為 $t r i$ , $i = 1,..., n$ ，其階躍響應沒有过冲，假設第一個模組的輸入信號的上昇時間為 $t r S$ .^[21]。其輸出的上昇時間 $t r 0$ 為

t_{r_{O}}={\sqrt {t_{r_{S}}^{2}+t_{r_{1}}^{2}+\dots +t_{r_{n}}^{2}}}

依照Valley & Wallman (1948，第77–78頁)，此結果可以用中心极限定理來說明，已由Wallman (1950)證明^[22]^[23]。此問題的詳細分析可以參考Petitt & McWhorter (1961，§4–9, pp. 107–115),^[24]，他指出Elmore (1948)是第一個用比較嚴謹的基礎證明上述公式的人^[25]。

腳註

^ rise time, Federal Standard 1037C, August 7, 1996 [2019-12-31], （原始内容存档于2016-06-24）
^ 例如(Cherry & Hooper 1968，p.6 and p.306), (Millman & Taub 1965，第44頁) and (Nise 2011，第167頁).
^ 例如Levine (1996，第158頁), (Ogata 2010，第170頁) and (Valley & Wallman 1948，第72頁).
^ 例如(Cherry & Hooper 1968，p. 6 and p. 306), (Millman & Taub 1965，第44頁) and (Valley & Wallman 1948，第72頁).
^ 例如 Valley & Wallman (1948，p. 72, footnote 1)有提到：「有些應用會量測5%到95%的上昇時間，或是1%到99%的上昇時間。」
^ ^6.0 ^6.1 精確來說，Levine (1996，第158頁)有提到：「上昇時間是從終值的x%上昇到y%需要的時間。若是過阻尼控制系統，多半會使用0%至100%的上昇時間，若是欠阻尼系統 (...) 多半會使用10%至90%的上昇時間。」。不過過阻尼二階控制系統使用0%至100%的上昇時間是不正確的，因為此定義下的上昇時間會是無限大。類似RC電路上昇時間的例子。在(Levine 2011，第9-3 (313)頁)的第二版也有類似的文字。
^ 仍是依照Orwiler (1969，第22頁)的定義
^ 依照Valley & Wallman (1948，第72頁)「若要複製階躍函數或是方波的上昇緣，最重要的參數就是上昇時間，一般是量測10%至90%之間的時間，另一個則是过冲。」，依照Cherry & Hooper (1969，第306頁)「放大器在方波響應下，最重要的二個參數是上昇時間以及倾斜百分比。」
^ 參考(Orwiler 1969，第27–29頁)及級聯模組的上昇時間章節
^ 參考(Valley & Wallman 1948，第73頁)、(Orwiler 1969，p. 22 and p. 30)中的範例，或是一階低通RC電路章節
^ 可參考 (Valley & Wallman 1948，p. 72, footnote 1)及(Elmore 1948，第56頁)。
^ 參考(Valley & Wallman 1948，p. 72, footnote 1)及(Elmore 1948，p. 56 and p. 57, fig. 2a).
^ 參考(Petitt & McWhorter 1961，第109–111頁)
^ 參考(Valley & Wallman 1948，第724頁)及(Petitt & McWhorter 1961，第122頁).
^ 根據Paley-Wiener準則（英语：Paley-Wiener criterion），像是(Valley & Wallman 1948，p. 721 and p. 724)中所提到的。Petitt & McWhorter (1961，第122頁)也簡單說明此事實
^ 參考(Valley & Wallman 1948，第724頁), (Petitt & McWhorter 1961，p. 111, including footnote 1, and p.)及(Orwiler 1969，第30頁).
^ ^17.0 ^17.1 Compare with (Orwiler 1969，第30頁).
^ 也稱為「單極點濾波器」，例如(Cherry & Hooper 1969，第639頁)
^ 比較(Valley & Wallman 1948，p. 72, formula (2))、 (Cherry & Hooper 1969，p. 639, formula (13.3))或(Orwiler 1969，p. 22 and p. 30)的內容
^ See (Ogata 2010，第171頁).
^ " $S$ 表示「來源」，可能是电流源或电压源
^ 這份一頁的論文沒有任何計算。Henry Wallman（英语：Henry Wallman）列出了一個他稱為詞典的表，將电子工程及概率论的概念並排。關鍵是使用拉普拉斯变换。接著他提到，依照詞典中這些概念的結果。計多級聯模組的階躍響應可以對應中心极限定理，並且提到：「這是重要的實務結果，前提是電路沒有過衝，其反應時間會隨著級聯個數而增加，約和個數的均方根成正比。」(Wallman 1950，第91頁).
^ 也可以參考(Cherry & Hooper 1969，第656頁)及(Orwiler 1969，第27–28頁).
^ 由(Cherry & Hooper 1969，第656頁)引用
^ 參考(Petitt & McWhorter 1961，第109頁).

參考資料

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Elmore, William C., The Transient Response of Damped Linear Networks with Particular Regard to Wideband Amplifiers, 应用物理学杂志, January 1948, 19 (1): 55–63 [2019-12-31], doi:10.1063/1.1697872, （原始内容存档于2016-11-14） .
Levine, William S., The Control Handbook, 博卡拉頓: CRC Press: xvi+1548, 1996, ISBN 0-8493-8570-9 .
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Ogata, Katsuhiko, Modern Control Engineering 5th, Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall: x+894, 2010 [1970], ISBN 978-0-13-615673-4 .
Orwiler, Bob, Vertical Amplifier Circuits (PDF), Circuit Concepts, 062-1145-00 1st, Beaverton, OR: Tektronix: 461, December 1969 [2019-12-31], （原始内容 (PDF)存档于2021-06-08） .
Petitt, Joseph Mayo; McWhorter, Malcolm Myers, Electronic Amplifier Circuits. Theory and Design, McGraw-Hill Electrical and Electronics Series, New York–Toronto–London: McGraw-Hill: xiii+325, 1961 .
Valley, George E., Jr.; Wallman, Henry, §2 of chapter 2 and §1–7 of chapter 7, Vacuum Tube Amplifiers, MIT Radiation Laboratory Series 18, New York City: McGraw-Hill: xvii+743, 1948 .
Wallman, Henry, Transient response and the central limit theorem of probability, Taub, A. H. (编), Electromagnetic Theory (Massachusetts Institute of Technology, July 29–31 1948), Proceedings of Symposia in Applied Mathematics 2, Providence: American Mathematical Society: 91, 1950, MR 0034250, Zbl 0035.08102 .

[Std1037C-1] rise time, Federal Standard 1037C, August 7, 1996 [2019-12-31], （原始内容存档于2016-06-24）

[10-90-2] 例如(Cherry & Hooper 1968，p.6 and p.306), (Millman & Taub 1965，第44頁) and (Nise 2011，第167頁).

[3] 例如Levine (1996，第158頁), (Ogata 2010，第170頁) and (Valley & Wallman 1948，第72頁).

[4] 例如(Cherry & Hooper 1968，p. 6 and p. 306), (Millman & Taub 1965，第44頁) and (Valley & Wallman 1948，第72頁).

[5] 例如 Valley & Wallman (1948，p. 72, footnote 1)有提到：「有些應用會量測5%到95%的上昇時間，或是1%到99%的上昇時間。」

[risedef-6] 6.0 ^6.1 精確來說，Levine (1996，第158頁)有提到：「上昇時間是從終值的x%上昇到y%需要的時間。若是過阻尼控制系統，多半會使用0%至100%的上昇時間，若是欠阻尼系統 (...) 多半會使用10%至90%的上昇時間。」。不過過阻尼二階控制系統使用0%至100%的上昇時間是不正確的，因為此定義下的上昇時間會是無限大。類似RC電路上昇時間的例子。在(Levine 2011，第9-3 (313)頁)的第二版也有類似的文字。

[7] 仍是依照Orwiler (1969，第22頁)的定義

[8] 依照Valley & Wallman (1948，第72頁)「若要複製階躍函數或是方波的上昇緣，最重要的參數就是上昇時間，一般是量測10%至90%之間的時間，另一個則是过冲。」，依照Cherry & Hooper (1969，第306頁)「放大器在方波響應下，最重要的二個參數是上昇時間以及倾斜百分比。」

[9] 參考(Orwiler 1969，第27–29頁)及級聯模組的上昇時間章節

[10] 參考(Valley & Wallman 1948，第73頁)、(Orwiler 1969，p. 22 and p. 30)中的範例，或是一階低通RC電路章節

[11] 可參考 (Valley & Wallman 1948，p. 72, footnote 1)及(Elmore 1948，第56頁)。

[12] 參考(Valley & Wallman 1948，p. 72, footnote 1)及(Elmore 1948，p. 56 and p. 57, fig. 2a).

[13] 參考(Petitt & McWhorter 1961，第109–111頁)

[14] 參考(Valley & Wallman 1948，第724頁)及(Petitt & McWhorter 1961，第122頁).

[15] 根據Paley-Wiener準則（英语：Paley-Wiener criterion），像是(Valley & Wallman 1948，p. 721 and p. 724)中所提到的。Petitt & McWhorter (1961，第122頁)也簡單說明此事實

[16] 參考(Valley & Wallman 1948，第724頁), (Petitt & McWhorter 1961，p. 111, including footnote 1, and p.)及(Orwiler 1969，第30頁).

[Orwp30-17] 17.0 ^17.1 Compare with (Orwiler 1969，第30頁).

[18] 也稱為「單極點濾波器」，例如(Cherry & Hooper 1969，第639頁)

[19] 比較(Valley & Wallman 1948，p. 72, formula (2))、 (Cherry & Hooper 1969，p. 639, formula (13.3))或(Orwiler 1969，p. 22 and p. 30)的內容

[20] See (Ogata 2010，第171頁).

[21] " $S$ 表示「來源」，可能是电流源或电压源

[22] 這份一頁的論文沒有任何計算。Henry Wallman（英语：Henry Wallman）列出了一個他稱為詞典的表，將电子工程及概率论的概念並排。關鍵是使用拉普拉斯变换。接著他提到，依照詞典中這些概念的結果。計多級聯模組的階躍響應可以對應中心极限定理，並且提到：「這是重要的實務結果，前提是電路沒有過衝，其反應時間會隨著級聯個數而增加，約和個數的均方根成正比。」(Wallman 1950，第91頁).

[23] 也可以參考(Cherry & Hooper 1969，第656頁)及(Orwiler 1969，第27–28頁).

[24] 由(Cherry & Hooper 1969，第656頁)引用

[25] 參考(Petitt & McWhorter 1961，第109頁).

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