半連續性

在數學分析中，半連續性是實值函數的一種性質，分成上半連續與下半連續，半連續性較連續性弱。

形式定義

設 $X$ 為拓撲空間，$x_{0}\in X$，而 $f:X\to \mathbb {R}$ 為實值函數。若對每個 ε > 0 都存在 $x_{0}$ 的開鄰域 $U$ 使得 $\forall x\in U,\;f(x)<f(x_{0})+\varepsilon$，則稱 $f$ 在 $x_{0}$ 上半連續。該條件也可以用上極限等價地表述：

$\limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f(x_{0})$

若 $f$ 在 $X$ 上的每一點都是上半連續，則稱之為上半連續函數。

下半連續性可以準此定義：若對每個 ε > 0 都存在 $x_{0}$ 的開鄰域 $U$ 使得 $\forall x\in U,\;f(x)>f(x_{0})-\varepsilon$，則稱 $f$ 在 $x_{0}$ 下半連續。用下極限等價地表述為：

$\liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geq f(x_{0})$

若 $f$ 在 $X$ 上的每一點都是下半連續，則稱之為下半連續函數。

拓撲基 $]-\infty ,a[\;\;(a\in \mathbb {R} )$ 賦予實數線 $\mathbb {R}$ 較粗的拓撲，上半連續函數可以詮釋為此拓撲下的連續函數。若取基為 $]a,+\infty [\;\;(a\in \mathbb {R} )$，則得到下半連續函數。

例子

上半連續但不是下半連續函數的例子（藍點表 $f(x_{0})$）

考慮函數

$f(x)={\begin{cases}-1&,x<0\\1&,x\geq 0\end{cases}}$

此函數在 $x_{0}=0$ 上半連續，而非下半連續。

下半連續但不是上半連續连续的函数的例子（藍點表 $f(x_{0})$）

下整數函數 $f(x)=\lfloor x\rfloor$ 處處皆上半連續。同理，上整數函數 $f(x)=\lceil x\rceil$ 處處皆下半連續。

性質

一個函數在一點連續的充要條件是它在該點既上半連續也下半連續。

若 $f,g$ 在某一 點上半連續，則 $f+g$ 亦然；若兩者皆非負，則 $fg$ 在該點也是上半連續。若 $f$ 在一點上半連續，則 $-f$ 在該點下半連續，反之亦然。

若 $X$ 為緊集（例如閉區間），則其上的上半連續函數必取到極大值，而下半連續函數必取到極小值。

設 $f_{n}$ 為下半連續函數序列，而且對所有 $x\in X$ 有

$f(x)=\sup _{n}f_{n}(x)<+\infty$

則 $f$ 是下半連續函數。

開集的指示函數為下半連續函數，閉集的指示函數為上半連續函數。

文獻

• Gelbaum, Bernard R.; Olmsted, John M.H. Counterexamples in analysis. Dover Publications. 2003. ISBN 0486428753. 

• Hyers, Donald H.; Isac, George; Rassias, Themistocles M. Topics in nonlinear analysis & applications. World Scientific. 1997. ISBN 9810225342.