互質
两个数仅有公因数1
(重定向自互素)
在數論中,互質(英語:coprime,符號:⊥,又稱互质)是指如果兩個或兩個以上的整數的最大公因數是1[1]。依此定義:
兩個整數a與b互質,記為,也可以依其定义写成或。
互質的例子
例如8與10的最大公因數是2,不互質。
又如7、10、13的最大公因數是1,因此互質。
最大公因数可以通过辗转相除法得到。
整集互質與兩兩互質
三个或三个以上的整數互質有两种不同的情况:
- 這些整數的最大公因數是1,我們直接稱這些整數互質[4],也稱為整集互質(英語:setwise coprime)[5]。以 為例:
- 这些整數是两两互質的(英語:pairwise coprime)。以 為例:
兩兩互質是較為嚴格的互質,如果一個整數集合是兩兩互質的,它也必定是整集互質,但是整集互質不必然是兩兩互質,甚至可能兩兩皆不互質,例如 ,是整集互質,但 、 、 ,任兩者皆不互質。
性質
性质之一:整数a和b互質,当且仅当存在整数x,y,使得 。
一般地,存在整数x,y使得 ,其中d是a和b的最大公因数(贝祖等式)。
判别方法
- 两个不同的质数一定互質。例如,2与7、13与19。
- 一个质数,另一个不为它的倍数,这两个数互質。例如,3与10、5与 26。
- 1和任何一个自然数都互質。如1和9908。
- 相邻两个自然数互質。如15与16。
- 相邻两个奇数互質。如49与51。
- 较大数是质数,則两个数互質。如97与88。
- 两数都是合数(二数差较大),较小数所有的质因数,都不是较大数的因数,这两个数互質。如357与715,357=3×7×17,而3、7和17都不是715的因数,故这两数互質。
- 两数都是合数(二数差较小),这两数之差的所有质因数都不是较小数的因数,这两个数互質。如85和78。85-78=7,7不是78的因数,故这两数互質。
- 两数都是合数,较大数除以较小数的余数(大于“1”)的所有质因数,都不是较小数的因数,則两数互質。如 462与 221,462÷221=2...20,20=2×2×5。2、5都不是221的因数,故这两数互質。
- 輾轉相除法。如255与182。255-182=73,182-(73×2)=36,73-(36×2)=1,則(255,182)=1。故这两数互質。
參考來源
- ^ Number Theory in Science and Communication, p.28. [2014-10-19]. (原始内容存档于2014-10-19).
- ^ ProofWiki > Definition:Coprime/Integers. [2014-10-19]. (原始内容存档于2020-03-27).
- ^ ProofWiki > Integers Coprime to Zero. [2014-10-19]. (原始内容存档于2020-03-27).
- ^ StackExchange > a problem with coprime numbers. [2014-10-19]. (原始内容存档于2020-09-21).
- ^ Algebra II: Chapters 4-7, p.14