群作用
数学上,对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的:群的每个元素作为一个双射(或者对称作用)作用在某个集合上。在这个情况下,群称为置换群(特别是在群有限或者不是线性空间时)或者变换群(特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时)。一个群G的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示(通常该集合有限),并且可以表述为置换矩阵,一般在有限的情形作此考虑-这和作用在有序的线性空间基上是一样的。
定义
若 为一个群而 为一个集合,则 在 上的一个(左) 群作用是一个二元函数
(其中 和 的像写作 ),满足如下两条公理:
- 对于所有 和 成立
- 对于每个 成立 ( 代表 的么元)
从这两条公理,可以得出对于每个 ,映射 到 的函数是一个双射(單射以 應付,滿射以 應付),从 映射到 。因此,也可以将 在 上的群作用定义为从 到对称群 的群同态。
若群作用 给定,我们称“G作用于集合X”或者X是一个G-集合。
完全一样地,可以定义一个G在X上的右群作用为函数 ,满足以下公理:
注意左和右作用的区别仅在于象gh这样的积在x上作用的次序。对于左作用h先作用然后是g,而对于右作用g先作用然后是h。从一个右作用可以构造一个左作用,只要和群上的逆操作复合就可以了。如果r为一右作用,则
是一左作用,因为
而
所以在这里,我们只考虑左群作用,因为右作用可以相应推理。
群作用的种类
群G作用在集合X上的作用稱為:[1]
- 遞移性(Transitive)
- 如果X是一個非空集合,對於每對數對 x,y X,則存在一個g G,使得 ,我們就稱此作用為遞移性。
- 忠實性(Faithful)
- 如果群G嵌入(embbeding)到X的置換群中,我們就稱此作用為忠實的。換言之,就是群G到X的置換群之中為單射。
- 自由性(Free)
- 如果給定 ,存在 ,則有著 ,則稱為此作用為自由性。
- 正則的(Regular)
- 同時具有自由性以及遞移性的作用稱為正則的,又稱簡單遞移(英語:simply transitive)。
- n-遞移性(n-transitive)
- 如果集合X 至少有 n 個元素, 對所有不同的元素x1, ..., xn 和所有不同的y1, ..., yn, 存在一個 g 在群G 使得 g⋅xk = yk 對所有 1 ≤ k ≤ n ,我們就稱其為n-遞移性。
- 本原的(Primitive)
- 如果遞移性作用滿足只有trivial區塊(block),那我們稱此作用為本原的。可以證明n-遞移性皆為本原的。
軌道與穩定化子
軌道
若 是 的一個元素,且群 在 上有著一個作用,那麼 的軌道 就是指以下列方式定義的 的子集:
的兩個軌道,要不彼此相等,要不然其交集就是空集合。這是因為假如兩個軌道 和 有一個共通元素 ,那麼就可以找到兩個 中的元素 和 ,使得 、 ,同時有 ,反之亦可推出 ,而這使得這兩個集合所有的元素都相等。
一個軌道的例子是陪集,假若 是 的一個子集,且定義 中元素的慣常運算規則為 在 上的一個作用,那麼 的陪集 ( )就是 的軌道。
不變子集
若S是X的一個子集,群G作用在X上( X 被稱作G-set),對於群G中的所有元素 g,以及所有S中的元素 x,有著 ,
則我們會說 S在G的作用下是封閉的,或是說,S在G作用下是不變的
不動點與穩定子群
若 是 的一個元素,對於群 中的所有元素 而言,都有 ,那麼就稱 是 -不變的( -invariant)。
另外若 是 的一個元素,則所有使得 的 中的元素 構成的集合又稱 對於 的穩定子群(stabilizer subgroup of with respect to ),一般常常將之記作 (注意:不要將之與上面軌道的符號混淆)。
是 的一個子群,因為根據定義 ,因此 的單位元 屬於 ,且假若 ,那麼 的逆元 也是 的元素,因為 。
軌道-穩定點定理與伯恩賽德引理
考慮一個映射 可以證明此映射是一個雙射的函數,而這個映射的結論就是所謂的 軌道-穩定點定理
而一個跟軌道-穩定點定理相似的結果就是伯恩賽德引理,
西羅定理
範例
参考资料
- ^ Lovett, Stephen. Abstract Algebra: Structures and Applications. CRC. 2015. ISBN 1482248905.
- ^ Eie & Chang. A Course on Abstract Algebra. 2010: 145.