倒數和發散
倒數和收斂的正整數集
(重定向自倒數和收斂)
下文簡稱「大集」。與之相反,倒數和收斂的集合,元素倒數和有限,下文簡稱「小集」。
如此區分集合的大小,見於蒙茲-薩斯定理和埃尔德什等差数列猜想。
例
如無另外聲明,集合皆由正整數構成。
- 有限集必為小集。
- 全體正整數集 是大集。換言之,全體正整數的倒數和(稱為调和级数)發散。推而廣之,任何等差数列(即形如 的集合,其中 皆為正整數)皆是大集。
- 全體平方数的集合是小集(其倒數和為 )。立方數、四次方數等亦然。更一般地,任何二次以上的正整數系數多項式取值的集合必為小集。
- 的冪組成的集合 是小集。對任何等比数列(即形如 的集合,其中 皆為正整數,且 )也有同樣的結論。
- 质数集已證明為大集(見素数的倒数之和)。相反,孿生質數集已證明為小集(見布朗常數),不過仍未知是否有無窮多對孿生質數。
- 雖然質數集為大,質數真冪(即 ,其中 , 為質數)的集合為小。此性質常用於解析数论。一般地,完全 次方數的集合為小,甚至全體冪數(質因子皆高於一次的數)亦組成小集。
- 任意b進制下,不含某數字的數的集合也是小集。例如十進制中,不含數字7的數集 是小集。此類集合的倒數和稱為肯普納級數。
- 若集合的上密度非零,則必為大。
性質
未解問題
艾狄胥提出一個著名問題,問不含任意長度等差数列的集合,是否必為小集。他為此懸賞3000美元,高於自己其他猜想,還開玩笑稱賞金違反最低工資法。[1]後來,懸賞升至5000美元。[2]截至2021年,問題仍然未解。
未解決的數學問題:給定集合的描述,有何方法判斷其倒數和是否收斂?
一般地,給定某集合的定義,很難分辨該集合是大是小。仍有許多集合的倒數和未知是否收斂。
參見
參考文獻
- ^ Carl Pomerance. Paul Erdős, Number Theorist Extraordinaire (Part of the article The Mathematics of Paul Erdős) [艾狄胥,出類拔萃的數論家(〈艾狄胥的數學〉之一節)] (PDF). Notices of the AMS. 1998-01 [2021-11-13]. (原始内容存档 (PDF)于2021-11-13) (英语).
- ^ Soifer, Alexander. The Mathematical Coloring Book: Mathematics of Coloring and the Colorful Life of its Creators [數學塗色書:塗色的數學、開創者的繽紛生活]. New York: Springer. 2008: 354. ISBN 978-0-387-74640-1 (英语).
- A. D. Wadhwa. An interesting subseries of the harmonic series [調和級數的有趣子級數]. American Mathematical Monthly. 1975, 82 (9): 931–933. JSTOR 2318503 (英语).