克萊姆法則

(重定向自克拉瑪法則

克萊姆法則克拉瑪公式(英語:Cramer's rule / formula)是一個線性代數中的定理,用行列式來計算出線性等式組中的所有解。這個定理因加百列·克萊姆(1704年 - 1752年)的卓越使用而命名。在計算上,並非最有效率之法,因而在很多條等式的情況中沒有廣泛應用。不過,這一定理在理論性方面十分有效。

线性代数
向量 · 向量空间 · 基底  · 行列式  · 矩阵

基本方程

一個線性方程組可以用矩陣向量的方程來表示:

 

其中的 是一个 方塊矩陣,而向量   是一个长度为n行向量(中國大陸為列向量)。  也一样。

克莱姆法则说明:如果 是一个可逆矩陣  ),那么方程(1)有解  ,其中

  (1)

当中 是列向量 的第i行(行向量与列向量不一样,解释默认列向量)

當中 是列向量 取代了 的第i列后得到的矩阵。為了方便,我們通常使用 來表示 ,用 來表示 。所以等式(1)可以寫成為:

 

抽象方程

 為一個環, 就是一個包含 的系數的 矩陣。所以:

 

當中 就是 的行列式,以及 就是單位矩陣

證明概要

对于 元线性方程组  

把系数矩阵   表示成行向量的形式

 

由于系数矩阵可逆,故方程组一定有解 .

 ,即

 

考虑 的值,利用行列式線性和交替性質,有

 

于是

 

例子

运用克萊姆法則可以很有效地解決以下方程组。

已知:

 
 

使用矩陣來表示時就是:

 

当矩阵可逆时,x和y可以從克萊姆法則中得出:

 
以及
 

用3×3矩陣的情況亦差不多。

已知:

 
 
 

當中的矩陣表示為:

 

当矩阵可逆时,可以求出x、y和z:

 、       以及    

微分幾何上的應用

克萊姆法則在解決微分幾何的问题时十分有用。

先考慮兩條等式  。其中的u和v是需要考虑的变量,并且它们互不相关。我們可定義  

找出一條等式適合 是克萊姆法則的簡單應用。

首先,我們要計算    的導數:

 
 
 
 

  代入  ,可得出:

 
 

因為  互不相关,所以  的系數都要等於0。所以等式中的系數可以被寫成:

 
 
 
 

現在用克萊姆法則就可得到:

 

用兩個雅可比矩陣來表示的方程:

 

用類似的方法就可以找到  以及 

基本代數上的應用

克萊姆法則可以用來證明一些線性代數中的定理,當中的定理對環理論十分有用。

線性規劃上的應用

克萊姆法則可以用來證明一個線性規劃問題有一個基本整數的解。這樣使得線性規劃的問題更容易被解決。

缺点

克莱姆法则在电子计算机出现后,被认为是难以实际用于计算的。当使用克莱姆法则计算一个 阶线性方程组时,所需乘法次数为  次。例如求解25阶线性方程组时,总计乘法次数需要 (即4.03×1026)次,若计算机每秒能计算100亿次,所需时间约12.79亿年。相比之下,高斯消元法只需3060次乘法,对计算机而言易如反掌。[1]

參考文獻

  1. ^ 张宏伟,金光日,施吉林,董波 (编). 计算机科学计算 2013年第2版. 北京: 高等教育出版社. 2005: 3. ISBN 9787040365955. 

外部链接