典型相关

在统计学中，典型相关分析（英語：Canonical Correlation Analysis）是对互协方差矩阵的一种理解。如果我们有两个随机变量向量 X = (X₁, ..., X_n) 和 Y = (Y₁, ..., Y_m) 并且它们是相關的，那么典型相关分析会找出 X_i 和 Y_j 的相互相关最大的线性组合。T·R·Knapp指出“几乎所有常见的参数测试的意义可视为特殊情况的典型相关分析，这是研究两组变量之间关系的一般步骤。” 这个方法在1936年由哈罗德·霍特林首次引入。

给定两个随机向量$X=(x_{1},\dots ,x_{n})'$和$Y=(y_{1},\dots ,y_{m})'$，我们可以定义互协方差矩阵 $\Sigma _{XY}=\operatorname {cov} (X,Y)$ 为 $n\times m$ 的矩阵，其中 $(i,j)$ 是协方差 $\operatorname {cov} (x_{i},y_{j})$。实际上，我们可以基于 $X$ 和 $Y$ 的采样数据来估计协方差矩阵。(如从一对数据矩阵)。

典型相关分析求出向量 $a$ 和 $b$ 使得随机变量 $a'X$ 和 $b'Y$ 的相關性 $\rho =\operatorname {corr} (a'X,b'Y)$ 最大。随机变量 $U=a'X$ 和 $V=b'Y$ 是 第一对典型变量。然后寻求一个依然最大化相关但与第一对典型变量不相关的向量；这样就得到了 第二对典型变量。 这个步骤会进行 $\min\{m,n\}$ 次。

计算

推导

设 $\Sigma _{XX}=\operatorname {cov} (X,X)$ 和 $\Sigma _{YY}=\operatorname {cov} (Y,Y)$。需要最大化的参数为

$\rho ={\frac {a'\Sigma _{XY}b}{{\sqrt {a'\Sigma _{XX}a}}{\sqrt {b'\Sigma _{YY}b}}}}.$

第一步是定义一个基变更以及

$c=\Sigma _{XX}^{1/2}a,$

$d=\Sigma _{YY}^{1/2}b.$

因此我们有

$\rho ={\frac {c'\Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1/2}d}{{\sqrt {c'c}}{\sqrt {d'd}}}}.$

根据柯西-施瓦茨不等式，我们有

$\left(c'\Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1/2}\right)d\leq \left(c'\Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1/2}\Sigma _{YY}^{-1/2}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}c\right)^{1/2}\left(d'd\right)^{1/2},$

$\rho \leq {\frac {\left(c'\Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}c\right)^{1/2}}{\left(c'c\right)^{1/2}}}.$

如果向量 $d$ 和 $\Sigma _{YY}^{-1/2}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}c$ 共线，那么上式相等。此外，如果 $c$ 是矩阵 $\Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}$ (见Rayleigh quotient) 最大特征值对应的特征向量，那么就可以得到相关的最大值。随后的典型变量对可以通过减少特征值的量级来得到。正交性保证了相关矩阵的对称性。

解法

因此解法是：

• $c$ 是 $\Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}$ 的一个特征向量。
• $d$ 是 $\Sigma _{YY}^{-1/2}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}c$ 的比例项。

相反地，也有：

• $d$ 是 $\Sigma _{YY}^{-1/2}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1/2}$ 的一个特征向量。
• $c$ 是 $\Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1/2}d$ 的比例项。

把坐标反过来，我们有

• $a$ 是 $\Sigma _{XX}^{-1}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}$ 的一个特征向量。
• $b$ 是 $\Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1}\Sigma _{XY}$ 的一个特征向量。
• $a$ 是 $\Sigma _{XX}^{-1}\Sigma _{XY}b$ 的比例项。
• $b$ 是 $\Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}a$ 的比例项。

那么相关变量定义为：

$U=c'\Sigma _{XX}^{-1/2}X=a'X$

$V=d'\Sigma _{YY}^{-1/2}Y=b'Y$

实现

典型相关分析可以用一个相关矩阵的奇异值分解来解决。 以下是它在一些语言中的函数

• MATLAB as canoncorr （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• R as cancor （页面存档备份，存于互联网档案馆） or in FactoMineR （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• SAS as The CANCORR Procedure （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Scikit-Learn, Python as Cross decomposition （页面存档备份，存于互联网档案馆）

假设检验

每一行可以用下面的方法检测其重要性。由于相关是排好序的，也就是说行 $i$ 为 0 意味着所有后续的相关都为 0。如果我们在一个样本中有 $p$ 个独立观测，对 $i=1,\dots ,\min\{m,n\}$，${\widehat {\rho }}_{i}$ 是其估计相关。对第 $i$ 行，测试统计为：

$\chi ^{2}=-\left(p-1-{\frac {1}{2}}(m+n+1)\right)\ln \prod _{j=i}^{\min\{m,n\}}(1-{\widehat {\rho }}_{j}^{2}),$

上面渐近为一个对大 $p$ 有 $(m-i+1)(n-i+1)$ 个自由度的卡方分布。 由于所有从 $\min\{m,n\}$ 到 $p$ 的相关从逻辑上来说都是 0，所以在这一点之后的乘积都是不相关的。

参见

• Generalized Canonical Correlation
• Multilinear subspace learning
• RV coefficient
• Principal angles
• 主成分分析
• Regularized canonical correlation analysis
• 奇异值分解
• Partial least squares regression

外部链接

• Hardoon, D. R.; Szedmak, S.; Shawe-Taylor, J. Canonical Correlation Analysis: An Overview with Application to Learning Methods. Neural Computation. 2004, 16 (12): 2639–2664. PMID 15516276. doi:10.1162/0899766042321814. 
• A note on the ordinal canonical-correlation analysis of two sets of ranking scores （页面存档备份，存于互联网档案馆） (Also provides a FORTRAN program)- in J. of Quantitative Economics 7(2), 2009, pp. 173-199
• Representation-Constrained Canonical Correlation Analysis: A Hybridization of Canonical Correlation and Principal Component Analyses (Also provides a FORTRAN program)- in J. of Applied Economic Sciences 4(1), 2009, pp. 115-124