分裂域

在抽象代数中，一个系数域为$\mathbb {K}$的多项式$P(x)\,$的分裂域（根域）是$\mathbb {K}$的“最小”的一个扩域$\mathbb {L}$，使得在其中$P\,$可以被分解为一次因式$x-r_{i}\,$的乘积，其中的$r_{i}\,$是$\mathbb {L}$中元素。一个$\mathbb {K}$上的多项式并不一定只有一个分裂域，但它所有的分裂域都是同构的：在同构意义上，$\mathbb {K}$上的多项式的分裂域是唯一的。

术语与定义

称一个系数域为$\mathbb {K}$的多项式 $P(x)\,$在$\mathbb {K}$的某个扩域$\mathbb {L}$中分裂，当且仅当这个多项式可以用这个域中的元素来分解（分裂）成最简单的一次因式的乘积：

$P=\sum _{i=0}^{k}a_{i}x^{i}=a_{k}\prod _{i=1}^{k}(x-r_{i})$

其中的$a_{i}\in \mathbb {K}$，$r_{i}\in \mathbb {L}$。换句话来说，$P\,$的根都在$\mathbb {L}$中。

使得$P\,$在其中分裂的扩域$\mathbb {L}$有很多，譬如对于某个使得$P\,$分裂的的$\mathbb {L}$，它任意的扩域$\mathbb {L} '$也都满足。然而其中“最小”的域在同构意义上是唯一的。所谓的“最小”域，是指这样的一个扩域$\mathbb {E}$：

1. 在$\mathbb {E}$里，$P\,$，可以分解为一次因式的乘积；
2. 在$\mathbb {E}$的任何真子域（不等于自身）里，$P\,$都无法如此分解。这样的扩域称为$P\,$在$\mathbb {K}$上的分裂域。

例子

如果$\mathbb {K}$是有理数域$\mathbb {Q}$，多项式为

$P(x)=x^{3}-2\,$

那么其分裂域$\mathbb {L}$可以是在$\mathbb {Q}$中添加三次单位根$\omega \,$和2的立方根而得到的扩域：$\mathbb {Q} (\omega ,{\sqrt[{3}]{2}})$。因为这时$P\,$可以写作：

$P=(x-{\sqrt[{3}]{2}})(x-\omega {\sqrt[{3}]{2}})(x-\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{2}})$

同一个多项式在不同的域上的分裂域不一定相同，比如：

• 多项式$x^{2}+1\,$在实数域 R上的分裂域是复数域 C。
• 多项式$x^{2}+1\,$在准有限域 GF₇上的分裂域是GF_7².

多项式$x^{2}-1\,$在准有限域 GF₇上的分裂域是GF₇，因为在其上$x^{2}-1=(x+1)(x-1)\,$已经分解完毕。

性质

给定多项式$P(x)\,$，在 $\mathbb {K}$上的分裂域$\mathbb {E}$，假设在$\mathbb {E}$里$P\,$，分解为

$P=a\prod _{i=1}^{k}(x-r_{i})$

那么$\mathbb {E} =\mathbb {K} (r_{1},r_{2},\cdots ,r_{k})$。

对于域$\mathbb {K}$的一个代数闭域扩域$\mathbb {A}$和$\mathbb {K}$上的一个多项式$P\,$，存在$P\,$在$\mathbb {K}$上的唯一的一个分裂域$\mathbb {L}$，使得$\mathbb {K} \subset \mathbb {L} \subset \mathbb {A}$。

对于$\mathbb {K}$的一个可分扩张$\mathbb {K} '$，$\mathbb {K} '$的伽罗瓦闭包是一个分裂域，也是$\mathbb {K}$的包含$\mathbb {K} '$的一个“最小”的伽罗瓦扩张。这样的一个伽罗瓦闭包包含了$\mathbb {K} '$中任意元素$a\,$，在$\mathbb {K}$上的极小多项式在$\mathbb {K}$上的分裂域。

参见

• 代数扩张
• 正规扩张
• 极小多项式
• 可分扩张

参考来源

• Dummit, David S., and Foote, Richard M. (1999). Abstract Algebra (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-36857-1. [1]
• David A. Cox. Galois Theory (1st ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-43419-1 [2]

外部链接

• 李華介，簡介Galois理論 （页面存档备份，存于互联网档案馆）