博赫纳恒等式

在微分几何中，博赫纳恒等式是关于黎曼流形之间调和映射的恒等式。 它以美国数学家所罗门·博赫纳的名字命名。

数学表述

设 M 和 N 为黎曼流形，并令 u : M → N 为一个调和映射。 设du 表示的u的（向前）导数，∇为梯度，Δ为拉普拉斯–贝尔特拉米算子，Riem_N 为N上的 黎曼曲率张量，Ric_M 为M上的里奇曲率张量，则有

${\frac {1}{2}}\Delta {\big (}|\nabla u|^{2}{\big )}={\big |}\nabla (\mathrm {d} u){\big |}^{2}+{\big \langle }\mathrm {Ric} _{M}\nabla u,\nabla u{\big \rangle }-{\big \langle }\mathrm {Riem} _{N}(u)(\nabla u,\nabla u)\nabla u,\nabla u{\big \rangle }.$

参见

• 博赫纳公式

参考文献

• Eells, J; Lemaire, L. A report on harmonic maps. Bull. London Math. Soc. 1978, 10 (1): 1–68. MR 0495450. doi:10.1112/blms/10.1.1. 

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Bochner identity. MathWorld.