变分法可能是从约翰·伯努利 （1696）提出最速曲线 （brachistochrone curve）问题开始出现的。[ 1] 雅各布·伯努利 和洛必达 （Marquis de l'Hôpital）的注意。但欧拉 首先详尽的阐述了这个问题。他的贡献始于1733年，他的《变分原理》（Elementa Calculi Variationum）寄予了这门科学这个名字。欧拉 对这个理论的贡献非常大。
勒让德 （1786）确定了一种方法，但在对极大和极小的区别不完全令人满意。牛顿 和莱布尼茨 也是在早期关注这一学科，对于这两者的区别Vincenzo Brunacci（1810）、高斯 （1829）、泊松 （1831）、Mikhail Ostrogradsky（1834）、和雅可比 （1837）都曾做出过贡献。Sarrus（1842）的由柯西 （1844）浓缩和修改的是一个重要的具有一般性的成就。Strauch（1849）、Jellett（1850）、Otto Hesse（1857）、Alfred Clebsch（1858）、和Carll（1885）写了一些其他有价值的论文和研究报告，但可能那个世纪最重要的成果是Weierstrass所取得的。他关于这个理论的著名教材是划时代的，并且他可能是第一个将变分法置于一个稳固而不容置疑的基础上的。1900年希尔伯特 发表的23个问题中的第20和23个问题促进了其更深远的发展。
在20世纪希尔伯特 、埃米·诺特 、列奧尼達·托內利 、昂利·勒貝格 和雅克·阿达马 等人做出重要贡献。Marston Morse将变分法应用在莫尔斯理论 中。Lev Pontryagin、Ralph Rockafellar和Clarke广义变分法最优控制理论 发展了新的数学工具。
在理想情形下，一函數的极大值及极小值會出現在其導數 為
0
{\displaystyle 0}
欧拉-拉格朗日方程 。以下以尋找連接平面上兩點
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle (x_{1},y_{1})}
(
x
2
,
y
2
)
{\displaystyle (x_{2},y_{2})}
A
[
f
]
=
∫
x
1
x
2
1
+
[
f
′
(
x
)
]
2
d
x
{\displaystyle A[f]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}
其中
f
′
(
x
)
=
d
f
d
x
,
{\displaystyle f'(x)={\frac {df}{dx}},\,}
f
(
x
1
)
=
y
1
,
{\displaystyle f(x_{1})=y_{1},\,}
f
(
x
2
)
=
y
2
{\displaystyle f(x_{2})=y_{2}\,}
函數
f
{\displaystyle f}
f
0
{\displaystyle f_{0}}
局部最小值 ，而
f
1
{\displaystyle f_{1}}
x
1
{\displaystyle x_{1}}
x
2
{\displaystyle x_{2}}
A
[
f
0
]
≤
A
[
f
0
+
ϵ
f
1
]
{\displaystyle A[f_{0}]\leq A[f_{0}+\epsilon f_{1}]}
其中
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
0
{\displaystyle 0}
因此
A
[
f
0
+
ϵ
f
1
]
{\displaystyle A[f_{0}+\epsilon f_{1}]}
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
A的一階導數 ）在
ϵ
=
0
{\displaystyle \epsilon =0}
0
{\displaystyle 0}
d
d
ϵ
∫
x
1
x
2
1
+
[
f
0
′
(
x
)
+
ϵ
f
1
′
(
x
)
]
2
d
x
|
ϵ
=
0
=
∫
x
1
x
2
(
f
0
′
(
x
)
+
ϵ
f
1
′
(
x
)
)
f
1
′
(
x
)
1
+
[
f
0
′
(
x
)
+
ϵ
f
1
′
(
x
)
]
2
|
ϵ
=
0
d
x
=
∫
x
1
x
2
f
0
′
(
x
)
f
1
′
(
x
)
1
+
[
f
0
′
(
x
)
]
2
d
x
=
0
{\displaystyle {\frac {d}{d\epsilon }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left.{\sqrt {1+[f_{0}'(x)+\epsilon f_{1}'(x)]^{2}}}dx\right|_{\epsilon =0}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left.{\frac {(f_{0}'(x)+\epsilon f_{1}'(x))f_{1}'(x)}{\sqrt {1+[f_{0}'(x)+\epsilon f_{1}'(x)]^{2}}}}\right|_{\epsilon =0}dx=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {f_{0}'(x)f_{1}'(x)}{\sqrt {1+[f_{0}'(x)]^{2}}}}\,dx=0}
此條件可視為在可微分函數的空間中，
A
[
f
0
]
{\displaystyle A[f_{0}]}
0
{\displaystyle 0}
f
0
{\displaystyle f_{0}}
弱微分 存在），則利用分部積分法 可得
∫
x
1
x
2
f
1
(
x
)
d
d
x
[
f
0
′
(
x
)
1
+
[
f
0
′
(
x
)
]
2
]
d
x
=
0
,
{\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}f_{1}(x){\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f_{0}'(x)}{\sqrt {1+[f_{0}'(x)]^{2}}}}\right]\,dx=0,}
其中
f
1
{\displaystyle f_{1}}
變分法基本引理 的一個特例：
I
=
∫
x
1
x
2
f
1
(
x
)
H
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle I=\int _{x_{1}}^{x_{2}}f_{1}(x)H(x)dx=0}
其中
f
1
{\displaystyle f_{1}}
0
{\displaystyle 0}
若存在
x
=
x
^
{\displaystyle x={\hat {x}}}
H
(
x
)
>
0
{\displaystyle H(x)>0}
x
^
{\displaystyle {\hat {x}}}
f
1
{\displaystyle f_{1}}
0
{\displaystyle 0}
I
>
0
{\displaystyle I>0}
x
=
x
^
{\displaystyle x={\hat {x}}}
H
(
x
)
<
0
{\displaystyle H(x)<0}
d
d
x
[
f
0
′
(
x
)
1
+
[
f
0
′
(
x
)
]
2
]
=
0
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f_{0}'(x)}{\sqrt {1+[f_{0}'(x)]^{2}}}}\right]=0}
由結論可推得下式：
d
2
f
0
d
x
2
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}f_{0}}{dx^{2}}}=0}
因此兩點間最短曲線為一直線。
在一般情形下，則需考慮以下的計算式
A
[
f
]
=
∫
x
1
x
2
L
(
x
,
f
,
f
′
)
d
x
{\displaystyle A[f]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}L(x,f,f')dx}
其中f 需有二階連續的導函數。在這種情形下，拉格朗日量L在極值
f
0
{\displaystyle f_{0}}
欧拉-拉格朗日方程
−
d
d
x
∂
L
∂
f
′
+
∂
L
∂
f
=
0
{\displaystyle -{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}+{\frac {\partial L}{\partial f}}=0}
不過在此處，欧拉-拉格朗日方程只是有極值的必要條件 ，並不是充分條件。
費馬原理 指出：光會沿着兩端點之間所需光程 最短的路徑前進。假設
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
A
[
f
]
=
∫
x
=
x
0
x
1
n
(
x
,
f
(
x
)
)
1
+
f
′
(
x
)
2
d
x
{\displaystyle A[f]=\int _{x=x_{0}}^{x_{1}}n(x,f(x)){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx}
其中折射率
n
(
x
,
y
)
{\displaystyle n(x,y)}
若選擇
f
(
x
)
=
f
0
(
x
)
+
ϵ
f
1
(
x
)
{\displaystyle f(x)=f_{0}(x)+\epsilon f_{1}(x)}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
δ
A
[
f
0
,
f
1
]
=
∫
x
=
x
0
x
1
[
n
(
x
,
f
0
)
f
0
′
(
x
)
f
1
′
(
x
)
1
+
f
0
′
(
x
)
2
+
n
y
(
x
,
f
0
)
f
1
1
+
f
0
′
(
x
)
2
]
d
x
{\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=\int _{x=x_{0}}^{x_{1}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'(x)f_{1}'(x)}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}}+n_{y}(x,f_{0})f_{1}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}\right]dx}
將括號中的第一項用分部積分處理，可得歐拉-拉格朗日方程
−
d
d
x
[
n
(
x
,
f
0
)
f
0
′
1
+
f
0
′
2
]
+
n
y
(
x
,
f
0
)
1
+
f
0
′
(
x
)
2
=
0
{\displaystyle -{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'}{\sqrt {1+f_{0}'^{2}}}}\right]+n_{y}(x,f_{0}){\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}=0}
光線的路徑可由上述的積分式而得。
當光進入或離開透鏡面時，折射率會有不連續的變化。考慮
n
(
x
,
y
)
=
n
−
if
x
<
0
{\displaystyle n(x,y)=n_{-}\quad {\hbox{if}}\quad x<0}
n
(
x
,
y
)
=
n
+
if
x
>
0
{\displaystyle n(x,y)=n_{+}\quad {\hbox{if}}\quad x>0}
其中
n
−
{\displaystyle n_{-}}
n
+
{\displaystyle n_{+}}
x <0或x >0的區域，歐拉-拉格朗日方程均和以上描述的相同。因為折射率在二個區域均為定值，在二個區域光都以直線前進。而在x =0的位置，f 必須連續，不過f' 可以不連續。在上述二個區域用分部積分的方式解歐拉-拉格朗日方程，則其變分量為
δ
A
[
f
0
,
f
1
]
=
f
1
(
0
)
[
n
−
f
0
′
(
0
−
)
1
+
f
0
′
(
0
−
)
2
−
n
+
f
0
′
(
0
+
)
1
+
f
0
′
(
0
+
)
2
]
{\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=f_{1}(0)\left[n_{-}{\frac {f_{0}'(0_{-})}{\sqrt {1+f_{0}'(0_{-})^{2}}}}-n_{+}{\frac {f_{0}'(0_{+})}{\sqrt {1+f_{0}'(0_{+})^{2}}}}\right]}
和
n
−
{\displaystyle n_{-}}
n
+
{\displaystyle n_{+}}
斯涅爾定律 ，上述二項的乘積相等，因此上述的變分量為0。因此斯涅爾定律所得的路徑也就是要求光程一階變分量為0的路徑。
費馬原理可以用向量的形式表示：令
X
=
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
{\displaystyle X=(x_{1},x_{2},x_{3})}
t 為其參數，
X
(
t
)
{\displaystyle X(t)}
C 參數化的表示，而令
X
˙
(
t
)
{\displaystyle {\dot {X}}(t)}
A
[
C
]
=
∫
t
=
t
0
t
1
n
(
X
)
X
˙
⋅
X
˙
d
t
{\displaystyle A[C]=\int _{t=t_{0}}^{t_{1}}n(X){\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}dt}
上述積分和t無關，因此也和C 的參數表示方式無關。使曲線最短的歐拉-拉格朗日方程有以下的對稱形式
d
d
t
P
=
X
˙
⋅
X
˙
∇
n
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}P={\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}\nabla n}
其中
P
=
n
(
X
)
X
˙
X
˙
⋅
X
˙
{\displaystyle P={\frac {n(X){\dot {X}}}{\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}}}
依P的定義可得下式
P
⋅
P
=
n
(
X
)
2
{\displaystyle P\cdot P=n(X)^{2}}
因此上述積分可改為下式
A
[
C
]
=
∫
t
=
t
0
t
1
P
⋅
X
˙
d
t
{\displaystyle A[C]=\int _{t=t_{0}}^{t_{1}}P\cdot {\dot {X}}\,dt}
依照上式，若可以找到一個函數ψ，其梯度为P ，則以上的積分A 就可以由在積分端點上ψ的差求得。以上求解曲線使積分量不變的問題就和ψ的level surface有關。為了要找到滿足此條件的函數ψ，需要對控制光線傳動的波動方程式進行進一步的研究。
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![{\displaystyle A[f]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16882bd0a3c6fdd1ddc9196d8552f4895d2cb8ab)
![{\displaystyle A[f_{0}]\leq A[f_{0}+\epsilon f_{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da95d55bff65980ca03902e9b1d3f308807dc636)
![{\displaystyle A[f_{0}+\epsilon f_{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4693db9948ddef19a10e79e6af4be28edb9575f1)
![{\displaystyle {\frac {d}{d\epsilon }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left.{\sqrt {1+[f_{0}'(x)+\epsilon f_{1}'(x)]^{2}}}dx\right|_{\epsilon =0}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left.{\frac {(f_{0}'(x)+\epsilon f_{1}'(x))f_{1}'(x)}{\sqrt {1+[f_{0}'(x)+\epsilon f_{1}'(x)]^{2}}}}\right|_{\epsilon =0}dx=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {f_{0}'(x)f_{1}'(x)}{\sqrt {1+[f_{0}'(x)]^{2}}}}\,dx=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f7c885a769031c2528b3cbd04bd4e4ea7534279)
![{\displaystyle A[f_{0}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5da3a6663d2359f479cfa4aa780ed3ecab9df86d)
![{\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}f_{1}(x){\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f_{0}'(x)}{\sqrt {1+[f_{0}'(x)]^{2}}}}\right]\,dx=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66dba524aaf673c9a01b98c5ee371f6ffb92930e)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f_{0}'(x)}{\sqrt {1+[f_{0}'(x)]^{2}}}}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24d1c44f99458a8a0010802d70f30dd66e9d2e0a)
![{\displaystyle A[f]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}L(x,f,f')dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c6a4f96a8778ccbeec2a75b0c3c7a96d44a8c80)
![{\displaystyle A[f]=\int _{x=x_{0}}^{x_{1}}n(x,f(x)){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/684d1362bde97d194a93a7331553a2466f3571ac)
![{\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=\int _{x=x_{0}}^{x_{1}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'(x)f_{1}'(x)}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}}+n_{y}(x,f_{0})f_{1}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}\right]dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59c0925cdc7441cc5e0bcd1808bef26fe5ee0eb1)
![{\displaystyle -{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'}{\sqrt {1+f_{0}'^{2}}}}\right]+n_{y}(x,f_{0}){\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f81e87658a02791afd0ce798bb74d6f7dc5471)
![{\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=f_{1}(0)\left[n_{-}{\frac {f_{0}'(0_{-})}{\sqrt {1+f_{0}'(0_{-})^{2}}}}-n_{+}{\frac {f_{0}'(0_{+})}{\sqrt {1+f_{0}'(0_{+})^{2}}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b581239a0147f5e39ce5d4becd3fe7a0ff8880e2)
![{\displaystyle A[C]=\int _{t=t_{0}}^{t_{1}}n(X){\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a930f4363ededeb2fdcc2df2afe5fcba6a0ccb0)
![{\displaystyle A[C]=\int _{t=t_{0}}^{t_{1}}P\cdot {\dot {X}}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bbc0d80bccc3ffd83359a80b5697f87b3bcafe2)