周期点

在数学中，特别是在迭代函数和动态系统领域，周期点是指被多次迭代后又映射到自身的点。这里的迭代次数叫做周期。周期为1的周期点被称为不动点。

迭代函数

f:X\to X

若存在 $n$ ，使得

\ f^{n}(x)=x

则 $x$ 是周期为 $n$ 的周期点。这里， $\ f^{n}$ 是 $f$ 的 $n$ 次迭代。使得上式成立的最小正整数被称为最小周期。

设 $p$ 是函数 $f(x)$ 的以 $n$ 为周期的周期点，若

|(f^{n})^{\prime }|\neq 1

则 $p$ 是双曲周期点。若

|(f^{n})^{\prime }|<1

则称周期点p为吸引子；若

|(f^{n})^{\prime }|>1

则称周期点p为排斥子。

若该周期点的稳定流形的维数为0，则称其为源点；若不稳定流形的维数为0，则称其为汇点；若稳定流形和不稳定流形的维数均不为0，则称其为鞍点。

给定一个连续时间动态系统 $(\mathbb {R} ,X,\Phi )$ ，其中 $X$ 是相空间， $\Phi$ 是状态转移函数，

\Phi :\mathbb {R} \times X\to X

若存在 $t>=0$ ， $x\in X$ ，使得

\Phi (t,x)=x\,

则 $x$ 被称为以 $t$ 为周期的周期点，使上式成立的最小正数 $t$ 被称为最小周期。

设 $x$ 是以 $t$ 为周期的周期点，则对于任意实数 $s$ ， $\Phi (s,x)=\Phi (s+t,x)\,$ 都成立。设轨迹 $\gamma _{x}$ 经过周期点 $x$ ，则该轨迹上的所有点均为周期点，且最小周期与 $x$ 的最小周期相等。