四階六邊形鑲嵌
在幾何學中，四階六邊形鑲嵌是由六邊形組成的雙曲面正鑲嵌圖，在施萊夫利符號中用{6,4}表示。四階六邊形鑲嵌每個頂點皆由四個六邊形共用，且六邊形不重疊，這樣一來，該點處的內角和將超過360度，因此無法存於平面上，但可以在雙曲面上作出。
 龐加萊圓盤模型 | ||
| 類別 | 雙曲正鑲嵌 | |
|---|---|---|
| 對偶多面體 | 六階正方形鑲嵌 | |
| 識別 | ||
| 鮑爾斯縮寫 | shexat | |
| 數學表示法 | ||
| 考克斯特符號 |     | |
| 施萊夫利符號 | {6,4} | |
| 威佐夫符號 | 4 | 6 2 | |
| 組成與佈局 | ||
| 頂點圖 | 64 | |
| 對稱性 | ||
| 對稱群 | [6,4], (*642) | |
| 旋轉對稱群 | [6,4]+, (642) | |
| 特性 | ||
| 點可遞、 邊可遞、 面可遞 | ||
| 圖像 | ||
| ||
性質
四階六邊形鑲嵌是指每個頂點皆為4個六邊形的公共頂點，且六邊形堅不重疊的正鑲嵌圖。在平面幾何中，正六邊形具有內角120度，因此4個正六邊形將超過平面的360度而無法存在平面空間中。然而在雙曲空間中允許這種情況的存在。然而從流形的角度來看，若將其頂點附近的區域局部歐幾里得空間化，則會得到直角，換句話說，組成這個幾何結構的正六邊形可以被視為由6個直角構成，因此又被稱為直角六邊形鑲嵌[1]
對稱性
這個鑲嵌代表一個雙曲的六次反射萬花筒。這種由六個二階交叉反射的對稱性在軌形符號被稱為*222222。在考克斯特表示法可表示為[6*,4]，從三個的鏡射線當中移除兩條穿過六邊形中心的鏡射線。在原本六邊形基礎中對所有的兩個頂點加入中垂線則可以限定出一個偏方面體*3322對稱群 ；加入對角線則可以限定出一個*443對稱群；加入中垂線則可以限定出一個*3222對稱群；全部加入則限定出了一個*642對稱群。
 *443 |
 *3222 |
 *642 |
相關多面體與鑲嵌
| 球面 | 欧氏 | 双曲镶嵌 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
 {6,2}    
|
 {6,3} 
|
{6,4} 
|
 {6,5} 
|
 {6,6}
|
 {6,7} 
|
 {6,8} 
|
... |  {6,∞} 
|
| 球面鑲嵌 | 多面體 | 雙曲鑲嵌 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 24 | 34 | 44 | 54 | 64 | 74 | 84 | ...∞4 |
參見
參考文獻
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
- Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.
外部連結
- 埃里克·韦斯坦因. Hyperbolic tiling. MathWorld.
- 埃里克·韦斯坦因. Poincaré hyperbolic disk. MathWorld.
- Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery（页面存档备份，存于互联网档案馆）
- KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch（页面存档备份，存于互联网档案馆）
- ^ Kenyon, Richard. Right-angled hexagon tilings of the hyperbolic plane. What's Next? (Princeton University Press). 2020: 206–214.