因式分解

因式分解,在这里是指多項式因式分解(英語:Polynomial Factorization[註 1]),在數學中一般理解為把一個多項式分解為兩個或多個的因式[註 2]的過程。在這個過後會得出一堆較原式簡單的多項式的積。例如单元多項式可被因式分解為。又如二元多項式因式分解為。如果我们允许多項式系数从整数扩大到複整數,那么可被因式分解為。通常分解获得的每个因式要是不可约多项式irreducible)。也就是不能再分解了。

一多項式 x2 + cx + d 可因式分解成(x + a)(x + b)。其中:ab = da + b = c 

因式分解定理

数域F上每个次数 的多项式 都可以分解成数域F上一些不可约多项式的乘积,并是唯一的,即如果有两个分解式

 

其中  都是数域F上的不可约多项式,那么必有 ,而且可以适当排列因式的次序,使得

 ,其中 是一些非零常数

分解方法

公因式分解(抽)

原则:

1、分解必須要彻底(即分解後之因式均不能再做分解)

2、結果最後只留下小括號

3、結果的多項式首項為正。 在一個公式內把其公因子抽出,例子:

  •  
    • 其中, 是公因子。因此,因式分解後得到的答案是: 
  •  
    • 其中, 是公因子。因此,因式分解後得到的答案是: 

公式重組(拼)

透過公式重組,然後再抽出公因數,例子:

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添項法(增)

透過添項然後減掉,然後再抽出公因數,例子:

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分項法(拆)

透過分裂某項,然後再抽出公因數,例子:

 

  • 其中, 可以被拆成  。所以, 可以被寫成 。因此,
 
 
 
 
 
 
 
其中, 可以被拆成  。所以, 可以被寫成 。因此,
 
 
 
 
 
 

十字交乘法

十字交乘法(cross method),也叫做十字相乘法。它实際上是拆項法的一個變形,只不過用十字形矩陣來表示。

兩個n次方數之和與差

兩個立方數之和

 可分解為 

兩個立方數之差

 可分解為 

兩個n次方數之差

 

兩個奇數次方數之和

 

一次因式檢驗法

一個整係數的一元多項式 ,假如它有整係數因式 且p,q互質,則以下兩條必成立:(逆敘述並不真)

  •  
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不過反過來說,即使當  都成立時,整係數多項式 也不一定是整係數多項式 的因式

另外一個看法是:

一個整係數的n次多項式 ,若 是f(x)之因式,且p,q互質,則:(逆敘述並不真)

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参见

注释

  1. ^ 也有polynomial factorisationfactoring的用法
  2. ^ 因式即多項式。

延伸閱讀

  • Burnside, William Snow; Panton, Arthur William (1960) [1912], The Theory of Equations with an introduction to the theory of binary algebraic forms (Volume one), Dover
  • Dickson, Leonard Eugene (1922), First Course in the Theory of Equations, New York: John Wiley & Sons
  • Fite, William Benjamin (1921), College Algebra (Revised), Boston: D. C. Heath & Co.
  • Klein, Felix (1925), Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint; Arithmetic, Algebra, Analysis, Dover
  • Selby, Samuel M., CRC Standard Mathematical Tables (18th ed.), The Chemical Rubber Co