前六个（概率论中的）埃尔米特多项式的图像。 埃尔米特多项式有两种常见定义。
第一种是概率论 中较为常用的形式（记作：
H
n
p
r
o
b
(
x
)
{\displaystyle H_{n}^{\mathrm {prob} }(x)}
H
n
p
r
o
b
(
x
)
=
(
−
1
)
n
e
x
2
/
2
d
n
d
x
n
e
−
x
2
/
2
{\displaystyle H_{n}^{\mathrm {prob} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}\,\!}
另一种是物理学 中较为常用的形式（记作：
H
n
p
h
y
s
(
x
)
{\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)}
H
n
p
h
y
s
(
x
)
=
(
−
1
)
n
e
x
2
d
n
d
x
n
e
−
x
2
{\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}\,\!}
物理学舍弃了常系数0.5，两定义之间的关系是：
H
n
p
h
y
s
(
x
)
=
2
n
/
2
H
n
p
r
o
b
(
2
x
)
.
{\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=2^{n/2}H_{n}^{\mathrm {prob} }({\sqrt {2}}\,x).\,\!}
概率论中常用第一种定义，因为
e
−
x
2
/
2
2
π
{\displaystyle {\frac {e^{-x^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}}
正态分布 函数（数学期望 等于0，标准差 等于1）的概率密度函数 。
前六个（物理学中的）埃尔米特多项式的图像。
前六个概率学和物理学中的埃尔米特多项式
序号
概率学
物理学
H
0
(
x
)
{\displaystyle H_{0}(x)}
1
{\displaystyle 1\,}
1
{\displaystyle 1\,}
H
1
(
x
)
{\displaystyle H_{1}(x)}
x
{\displaystyle x\,}
2
x
{\displaystyle 2x\,}
H
2
(
x
)
{\displaystyle H_{2}(x)}
x
2
−
1
{\displaystyle x^{2}-1\,}
4
x
2
−
2
{\displaystyle 4x^{2}-2\,}
H
3
(
x
)
{\displaystyle H_{3}(x)}
x
3
−
3
x
{\displaystyle x^{3}-3x\,}
8
x
3
−
12
x
{\displaystyle 8x^{3}-12x\,}
H
4
(
x
)
{\displaystyle H_{4}(x)}
x
4
−
6
x
2
+
3
{\displaystyle x^{4}-6x^{2}+3\,}
16
x
4
−
48
x
2
+
12
{\displaystyle 16x^{4}-48x^{2}+12\,}
H
5
(
x
)
{\displaystyle H_{5}(x)}
x
5
−
10
x
3
+
15
x
{\displaystyle x^{5}-10x^{3}+15x\,}
32
x
5
−
160
x
3
+
120
x
{\displaystyle 32x^{5}-160x^{3}+120x\,}
多项式Hn 是一个n 次的多项式。概率论的埃尔米特多项式是首一多项式（最高次项系数等于1），而物理学的埃尔米特多项式的最高次项系数等于2n
多项式Hn 的次数与序号n 相同，所以不同的埃尔米特多项式的次数不一样。对于给定的权函数 w ，埃尔米特多项式的序列将会是正交序列。
w
(
x
)
=
e
−
x
2
/
2
{\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}\,\!}
w
(
x
)
=
e
−
x
2
{\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\!}
也就是说，当m ≠ n 时：
∫
−
∞
∞
H
m
(
x
)
H
n
(
x
)
w
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,w(x)\,\mathrm {d} x=0}
除此之外，还有：
∫
−
∞
∞
H
m
p
r
o
b
(
x
)
H
n
p
r
o
b
(
x
)
e
−
x
2
/
2
d
x
=
n
!
2
π
δ
m
n
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}^{\mathrm {prob} }(x)H_{n}^{\mathrm {prob} }(x)\,\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x=n!\,{\sqrt {2\pi }}\delta _{mn}}
∫
−
∞
∞
H
m
p
h
y
s
(
x
)
H
n
p
h
y
s
(
x
)
e
−
x
2
d
x
=
n
!
2
n
π
δ
m
n
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}^{\mathrm {phys} }(x)H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)\,\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x=n!\,2^{n}{\sqrt {\pi }}\delta _{mn}}
其中
δ
m
n
{\displaystyle \delta _{mn}}
克罗内克函数 。
从上式可以看到，概率论中的埃尔米特多项式与标准正态分布正交。
在所有满足
∫
−
∞
∞
|
f
(
x
)
|
2
w
(
x
)
d
x
<
∞
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}\,w(x)\,\mathrm {d} x<\infty }
的函数所构成的完备空间 中，埃尔米特多项式序列构成一组基 。其中的内积 定义如下：
⟨
f
,
g
⟩
=
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
¯
w
(
x
)
d
x
{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,w(x)\,\mathrm {d} x}
概率论 中的埃尔米特多项式是以下微分方程的解:
(
e
−
x
2
/
2
u
′
)
′
+
λ
e
−
x
2
/
2
u
=
0
{\displaystyle (e^{-x^{2}/2}u')'+\lambda e^{-x^{2}/2}u=0}
方程的边界条件为：
u
{\displaystyle u}
其中
λ
{\displaystyle \lambda }
λ
{\displaystyle \lambda }
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
λ
{\displaystyle \lambda }
H
λ
p
r
o
b
(
x
)
{\displaystyle H_{\lambda }^{prob}(x)}
而物理学 中的埃尔米特多项式则是以下微分方程的解:
u
″
−
2
x
u
′
+
2
λ
u
=
0
{\displaystyle u''-2xu'+2\lambda u=0}
其本征值同样为
λ
{\displaystyle \lambda }
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
H
λ
p
h
y
s
(
x
)
{\displaystyle H_{\lambda }^{phys}(x)}
以上两个微分方程都称为埃尔米特方程 。
Arfken, Mathematical Methods for Physicists
B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics , Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 11 deals with Hermite polynomials.
Bayin, S.S. (2006) Mathematical Methods in Science and Engineering , Wiley, Chapter 4.
Courant, Richard; Hilbert, David, Methods of Mathematical Physics, Volume I, Wiley-Interscience, 1953 Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G., Higher transcendental functions. Vol. II, McGraw-Hill, 1955 Fedoryuk, M.V., H/h046980 , Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 Szegő, Gábor, Orthogonal Polynomials, American Mathematical Society, 1939, 1955 Wiener, Norbert, The Fourier Integral and Certain of its Applications, New York: Dover Publications, 1958, ISBN 0-486-60272-9 Whittaker, E. T.; Watson, G. N. A Course of Modern Analysis 4th Edition. London: Cambridge University Press. 1962. Temme, Nico, Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics , Wiley, New York, 1996
