多連立方體

多連立方體是由一個或是多個立方體互相連結組成的幾何形狀；也是平面多連方塊（也稱多格骨牌或四角系統）的三維版本。多連立方體的應用有索馬立方跟貝德蘭姆立方的組合問題等^[1]。

多連立方體的列舉

像平面多方塊組合一樣，多連立方體的列舉方式有兩種，分成考慮鏡對稱與不考慮鏡對稱兩種計算方式。例如，6個四連立方體具有鏡像對稱性，一個是手性的，所以考慮鏡對稱有7種、不考慮鏡對稱則有8種四連立方體。^[2]多連立方體計算鏡射的方式與多格骨牌不同，因為多格骨牌可以將其翻轉過來形成鏡射像，而多連立方體不能。尤其是在索馬立方就包含了兩種形式的手性四連立方體。

多連立方體可根據它們由多少個立方體單元組成進行分類：^[3]

n	多連立方體的名稱	不考慮鏡對稱	考慮鏡對稱
1	單立方體 monocube	1	1
2	雙立方體 dicube	1	1
3	三連立方體 tricube	2	2
4	四連立方體 tetracube	8	7
5	五連立方體 pentacube	29	23
6	六連立方體 hexacube	166	112
7	七連立方體 heptacube	1023	607
8	八連立方體 octocube	6922	3811

多連立方體已被枚舉到十六連立方體（n=16）^[4]

多連立方體的對稱性

與多格骨牌一樣，多連立方體也可以根據其對稱性來進行分類。多連立方體對稱性（非手性八面體群子群的共軛類）由W·F·倫農（W. F. Lunnon）在 1972 年首次列舉。大多數多連立方體是不對稱的，但許多具有更複雜的對稱群，甚至存在有多達48個元素的立方體全對稱群。其他種類的對稱性也是有可能的，例如七種八重對稱性的可能形式。^[2]

五連立方體

12個平面的五連立方體與五格骨牌相互對應。其餘17個五連立方體中，5個具有鏡像對稱性，另外12個形成6組手性對。

五連立方體的包圍盒可能的尺寸有5×1×1、4×2×1、3×3×1、3×2×1、4×2×2、3×2×2和2×2×2。^[5]

八連立方體與超立方體展開圖

達利十字

四維空間的超立方體是三維空間的立方體在四維空間的類比，由8個立方體組成，其可以像立方體展開成六連正方形那樣展開為八連立方體。其中一個展開與立方體較知名的展開圖——展開成拉丁十字的外形類似，他由四個立方體堆疊組成，另外四個立方體附著於四個堆疊立方體的第二個立方體露出的4個面上，形成一個三維空間雙十字的樣式。薩爾瓦多·達利將這種形狀用於其1954的畫作《耶穌受難（英语：Crucifixion (Corpus Hypercubus)）》上^[6]^:72^[7]，並在羅伯特·海萊因1940年的短篇小說《—且他建造了一座歪曲的房子—（英语："—And_He_Built_a_Crooked_House—"）》中也有所描述。^[8]為了紀念達利，這個八連立方體被稱為達利十字。^[9]^[10]這個八連立方體可以填充空間^[9]。

更一般地說，在所有 3811 個不同的自由八連立方體中，有261個是四維超正方體的展開圖。^[9]^[11]

參考資料

^ Weisstein, Eric W. (编). Polycube. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2016-07-27]. （原始内容存档于2017-06-29）（英语）.
^ ^2.0 ^2.1 Lunnon, W. F., Symmetry of Cubical and General Polyominoes, Read, Ronald C. (编), Graph Theory and Computing, New York: Academic Press: 101–108, 1972, ISBN 978-1-48325-512-5
^ Polycubes, at The Poly Pages. recmath.org. [2022-08-12]. （原始内容存档于2021-07-25）.
^ Kevin Gong's enumeration of polycubes. [2022-08-12]. （原始内容存档于2013-09-04）.
^ Aarts, Ronald M（英语：Ronald Aarts）. "Pentacube". From MathWorld. [2022-08-13]. （原始内容存档于2019-09-08）.
^ Theoni Pappas, 陳以鴻譯. 《數學放輕鬆》. 臺北縣新店市: 世茂出版社. 2004. ISBN 9577766110.
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^ Fowler, David, Mathematics in Science Fiction: Mathematics as Science Fiction, World Literature Today, 2010, 84 (3): 48–52, JSTOR 27871086, Robert Heinlein's "And He Built a Crooked House," published in 1940, and Martin Gardner's "The No-Sided Professor," published in 1946, are among the first in science fiction to introduce readers to the Moebius band, the Klein bottle, and the hypercube (tesseract). .
^ ^9.0 ^9.1 ^9.2 Diaz, Giovanna; O'Rourke, Joseph, Hypercube unfoldings that tile $\mathbb {R} ^{3}$ and $\mathbb {R} ^{2}$ , 2015, Bibcode:2015arXiv151202086D, arXiv:1512.02086  .
^ Langerman, Stefan; Winslow, Andrew, Polycube unfoldings satisfying Conway's criterion (PDF), 19th Japan Conference on Discrete and Computational Geometry, Graphs, and Games (JCDCG^3 2016), 2016 [2022-08-12], （原始内容存档 (PDF)于2022-09-18） .
^ Turney, Peter, Unfolding the tesseract, Journal of Recreational Mathematics, 1984, 17 (1): 1–16, MR 0765344