吸引子

吸引子（Attractor）是微积分和系统科学论中的一个概念。一个系统有朝某个稳态发展的趋势，这个稳态就叫做吸引子。

吸引子分为平庸吸引子和奇异吸引子（Strange Attractor）。例如一个钟摆系统，它有一个平庸吸引子，这个吸引子使钟摆系统向停止晃动的稳态发展。平庸吸引子有不动点（平衡）、极限环（周期运动）和整数维环面（概周期运动）三种模式。而不属于平庸的吸引子的都称为奇异吸引子，它表现了混沌系统中非周期性，无序的系统状态，例如天气系统。

对于吸引子，学术上并没有完善的定义，目前仅处于概念阶段。吸引子中的奇异吸引子对于混沌系统的研究意义重大。

定義

設$t$代表時間、$f(t,\cdot )$是用來確定動態系統狀態的函數。也就是說，如果$a$是$n$維相空間的一個點，代表系統的初始狀態，則$f(0,a)=a$且對每個正實數$t$有$f(t,a)$代表經過$t$單位時間後的狀態。舉例來說，如果一系統描述一維上某不受力粒子的演進，此時相空間是平面$\mathbb {R} ^{2}$，其坐標$(x,v)$中的$x$是粒子的位置，$v$是粒子的速度。那麼就有

$f(t,(x,v))=(x+tv,v).\$

而吸子是相空間中的子集$A$，並有以下幾個特徵：

• $A$在$f$下不隨時間變化，從而如果$a\in A$就有$f(t,a)\in A$對所有正實數$t$。
• 存在$A$的鄰域$B(A)$（英文是basin of attraction），使得該域中任何點在時間趨於無限時都會趨近$A$，或者更精準的是滿足以下敘述：

對任何$A$的鄰域$N$和$b\in B(A)$，存在正實數$T$使得$f(t,b)\in N$對所有$t>T$。

• 不存在$A$的非空子集可以取代$A$滿足前面兩點性質。

吸子還有許多其它種的定義，例如有些作者要求吸子有正的測度（以避免吸子中只有一個點），但其他作者只要求$B(A)$是鄰域。

種類

吸子是動態系統中相空間的子集。在西元1960年代前，吸子仍被認為有「簡單的」幾何形狀，例如點、直線、平面等。但吸子的形狀事實上可能相當複雜， 斯梅爾證明其馬蹄映射的吸子有康托尔集的結構。

兩種簡單的吸子是不動點和極限環。也有的吸子無法使用基本的幾何物件的組合來描述，那麼他就被稱作奇異吸子。

極限環

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奇異吸子

勞侖次奇異吸子的圖，其中用到參數ρ=28, σ = 10, β = 8/3。

一個吸子被稱為奇異（strange）如果他具有碎形結構，這常常出現在動態系統是混亂的時，但奇異非混亂吸子也是存在的。

若一奇異吸子是混沌的，則其對初始條件敏感。也就是任意兩個極為接近的初始點，在一定數量的疊代運算後，兩者可以相距甚遠；也可以再經過一定數量的疊代運算後又變得極為靠近。也因此，一個具有混沌吸子的動態系統在局域是不穩定的，然而廣域來看卻可以是穩定的，因為這些動態點再怎麼彼此分離，也都不會離開吸子。

奇異吸子這個詞最早是由呂埃勒與Floris Takens所命名，用以描述流體系統經一連串分岔所產生的吸子結果。

奇異吸子在一些方向上常是可微的，但一些例子則如同康托塵則不可微。奇異吸子亦可出現在有雜訊的場合。

奇異吸子的例子包括多卷波混沌吸引子、艾儂吸子、熱斯勒吸子，以及勞侖次吸子。