完全不连通空间

在拓扑学和相关的数学分支中，完全不连通空间是没有非平凡连通子集的拓扑空间。在所有拓扑空间中空集和单点集合是连通的，而在完全不连通空间中它们是仅有的连通子集，在此意义上，完全不连通空间是极大不连通。

完全不连通空间的重要例子是康托尔集合。另一个例子是在代数数论中扮演关键角色的p进数的域 Q_p。

定义

拓扑空间 X 是完全不连通，如果在 X 中的连通分支是单点集合。

例子

下面是完全不连通空间的例子:

• 离散空间。
• 有理数空间。
• 无理数空间。
• p进数。更一般的说预有限群都是完全不连通的。
• 康托尔集合.
• Baire空间.
• Sorgenfrey线。
• 零维 T₁ 空间。
• Stone空间。
• Knaster-Kuratowski扇。

性质

• 完全不连通空间的子空间、乘积和余积是完全不连通的。
• 完全不连通空间是 T₁ 空间，因为点都是闭合的。
• 完全不连通空间的连续像不必然是完全不连通的，事实上，所有紧致度量空间是康托尔集合的连续像。
• 局部紧致豪斯多夫空间是零维的，当且仅当它是完全不连通的。
• 所有完全不连通紧致度量空间同胚于离散空间的可数乘积的子集。

引用

• Willard, Stephen, General topology, Dover Publications, 2004, ISBN 978-0-486-43479-7, MR2048350 

参见

• 完全不连通群。