对偶系统

数学中,上的对偶系统对偶对是指三元组,包含上的2个向量空间XY,以及非退化双线性映射

对偶理论是对对偶系统的研究,在泛函分析中占有重要地位,并通过希尔伯特空间广泛应用于量子力学中。

定义、记号与惯例

配对

 上的配对(pairing或pair)是一个三元组 ,也可以用 表示, 包含 上的两个向量空间XY双线性映射 ,称作与配对关联的双线性映射[1],或配对的映射,或其双线性形式。简单起见,本文只涉及 实数 复数 的例子。

 ,定义    ,定义    Y上的线性泛函 X上的线性泛函。令   其中每个集合构成一个线性泛函的向量空间。

通常记 而非 ,这样配对不必写成 ,而可以写成 。不过,本文将用 表示求值映射(定义见下),以避免混淆。

对偶对

双线性形式b是非退化的,则称配对  上的对偶系统对偶对[2] ,满足下面两条分离公理:

  1. Y分离(区分)X的点:若 使得 ,则 ;等价地,对所有非零的 ,映射 不等同于 (即 使得 );
  2. X分离(区分)Y的点:若 使得 ,则 ;等价地,对所有非零的 ,映射 不等同于 (即 使得 )。

这样b是非退化的,可以说bXY置于(分离)对偶中(places in (separated) duality),b是三元组 的对偶配对(duality pairing)。[1][2]

全子集

 ,  能推出 ,则称 为全集。 X的全子集定义相似(见脚注)。[note 1]因此,当且仅当XX的全子集,X分离Y中所有点,对Y亦然。

正交性

 ,称向量xy正交,记作 。若 ,称两子集  正交,记作 ;即   。子集正交于向量的定义与之类似。

子集 正交补零化子 . 于是,当且仅当 RX的全子集。

极集

给定在 上定义了对偶对的三元组 ,子集 绝对极集极集是集合 对称地,子集 的绝对极集或极集记作 ,定义为  


为了使用有助于跟踪对偶性两侧不对称的标记,子集 的绝对极也可以称为B绝对预极(absolute prepolar)或预极(prepolar),可表为 [3]

 必然是凸集,包含 ,若B平衡,则 也平衡;若BX的向量子空间,则 Y的向量子空间。[4]

AX的向量子空间,则 ,还等于A的实极。若 ,则A双极(bipolar,记作 )是A正交补的极,即集 。相似地,若 ,则B的双极是 

对偶的定义与结果

给定对 ,定义新对 ,其中 [1] 对偶理论有个一贯的主题:任何对 都有相应的对偶对 

约定与定义:给定配对 的任何定义,将其应用于配对 ,就能得到对偶定义。这约定也适用于定理。

例如,若X分离Y的点(或者说SY的全子集)定义如上,则此约定立即产生了对偶定义:Y分离X的点(或者说SX的全子集)。 下面的写法几乎无处不在,可让我们不用为d指定符号。

约定与记号:若配对 的定义及其记号取决于XY的顺序(例如,X上的麦奇拓扑 ),那么交换XY顺序就意味着定义适用于 (接上例,拓扑 实际上是拓扑 )。

再比如,一旦定义了X上的弱拓扑 ,则此对偶定义就会自动应用到配对 ,从而得到Y上弱拓扑的定义—— 而非 

  的识别

虽然从技术上将这是不正确的,也是对符号的滥用,但本文将遵守几乎普遍的管理,及将配对  互换处理,并用 表示 

例子

配对的限制

 是配对,MX的向量子空间,NY的向量子空间。则,  的限制就是配对 。若 是对偶,则限制就有可能不对偶(如,若  )。

本文将使用通常做法,用 表示限制 

向量空间上的规范对偶

X是向量空间,令 表示X代数对偶空间(即,X上所有线性泛函的空间)。则有规范对偶 ,其中 ,称之为 上的求值映射自然/规范双线性泛函。

注意  只是表示 的另一种方式,即 

N 的一个向量子空间,则  的限制称作规范配对。若此配对是对偶,则称为规范对偶。显然X总是分离N的点,因此当且仅当N分离X中的点,规范配对是对偶系统。 下列记号现在在对偶理论中几乎无处不在。

求值映射记作 (而非c),将 改为 

假设:按惯例,若X是向量空间,NX上线性泛函的向量空间,则除非另有说明,否则将假定它们同规范配对 相关联。

N 的向量子空间,则当且仅当N分离X的点(或等价地,N是全的, 能推出 ),X分离N的点(或等价地, 是对偶),[1]

拓扑向量空间上的规范对偶

X拓扑向量空间,有连续对偶空间 。 则,规范对偶  的限制确定了配对 ,其中X分离 的点。 若 分离X的点(例如,若X是豪斯多夫局部凸空间,则恒为真),则此配对形成了对偶。[2]

假设:正如通常所作,只要X是拓扑向量空间,则除非另有说明,否则将假定其与规范配对 相关联,无需注释。

拓扑向量空间的极与对偶

下列结果表明,拓扑向量空间上的连续线性泛函恰是在原点邻域上有界的线性泛函。

定理[1] — X是拓扑向量空间,有代数对偶  ,并令 X在原点邻域的基。 在规范对偶 下,X是连续对偶空间是所有 的并,因为N的范围是 (其中极位于 )。

内积空间与复共轭空间

预希尔伯特空间 ,当且仅当H 上的向量空间,或H是0维, 是对偶对。这里假定半双线性形式 在第二坐标上是共轭齐次的,在第一坐标上是齐次的。

  1.  是实希尔伯特空间,则 形成对偶系统。
  2.  是复希尔伯特空间,则当且仅当  形成对偶系统。若H非平凡,则 甚至不是配对,因为内积是半双线性的,而非双线性的。[1]

 是复预希尔伯特空间,标量乘法用并列或 表示。 定义映射   其中右式使用了H的标量乘法。令 表示H复共轭向量空间,其中 表示加群 (所以 中的向量加法与H中的相同),但 中的标量乘法是映射 (而非H被赋予的标量乘法)。

映射 定义为 ,在两个坐标中都是线性的[note 2],因此 形成对偶对。

其他例子

  1.    是配对,使X区分Y的点,但Y不区分X的点。此外, 
  2.  (其中q满足 ),  是对偶系统。
  3. XY是同一域 上的向量空间,则双线性形式 使  对偶。[2]
  4. 序列空间X及其Beta-对偶空间 ,双线性映射定义为 形成对偶系统。

弱拓扑

  上一对向量空间。若 ,则X上由S(和b)诱导的弱拓扑X上最弱的拓扑向量空间拓扑,记作  ,使yS上取值时所有映射 连续。[1]S在语境中不明确,则应假定是Y的全部,这时称之为X上(由Y诱导的)的弱拓扑。  或(若无混淆) 用于表示赋有弱拓扑 X。 重要的是,弱拓扑完全取决于函数b 上的通常拓扑与X上的向量空间结构,而与Y的代数结构无关。 同样,若 ,则Y上由R(和b)诱导的弱拓扑的对偶定义记作  (细节见脚注)。[note 3]

定义与符号:若 附在一个拓扑定义上(如 -收敛、 -有界、 等等),则就意味着当定义的第一个空间(即X)携带 拓扑。若无混淆,可以不提及b甚至XY。例如,若Y中序列  -收敛”或“弱收敛”,这意味着它收敛于 ,而若它是X中的序列,则意味着它收敛于 )。

拓扑 局部凸的,因为它由 定义的半范数族 确定,其中yY上取值。[1] X中的,则若  中收敛到x  -收敛x[1] ,当且仅当 收敛到  -收敛到x

 是希尔伯特空间中的正交规范向量列,则 弱收敛到0,但不会规范收敛(norm-convergence)到0(或任意向量)。[1]

 是配对,NY的一个适当的向量子空间,使得 是对偶对,则  严格[1]

有界子集

子集 ,当且仅当 ,其中 ,称S -有界。

豪斯多夫性

 是配对,则下列条件等价:

  1. X分离Y的点;
  2. 映射 定义了YX的代数对偶空间的单射[1]
  3.  豪斯多夫空间[1]

弱表示定理

下列定理对对偶理论至关重要,因为它完全表征了 的连续对偶空间。

弱表示定理[1] —  是域 上的配对,则 连续对偶空间 另外,

  1. f 上的连续线性泛函,则 使 ;若这样的y存在,则当且仅当X分离Y的点时,这样的y是唯一的。
  • 注意,X是否分离Y中的点并不取决于y的特定选择。
  1.  的连续对偶空间可以视作商空间 ,其中 
  • 无论X是否分离Y的点,或Y是否分离X中的点,这都是正确的。

因此, 的连续对偶空间是  

关于规范配对,若X是拓扑向量空间,其连续对偶空间 分离X的点(即使 豪斯多夫,这可推出X也必豪斯多夫),则 的连续对偶空间等于xX中取值时所有“点x处得值”的映射集合(即将 送到 的映射)。 通常写成   这一重要事实就是为什么连续对偶空间上极拓扑的成果(如 上的强对偶拓扑 )能应用到原拓扑向量空间X的。例如,将X视作 意味着 上的拓扑 可被视作X上的拓扑。 此外,若 被赋予比 更细的拓扑,那么 的连续对偶空间必然包含 (作为子集)。 例如, 被赋予强对偶拓扑(于是记作 ),则  

这允许X被赋予由强对偶拓扑 X上诱导的子空间拓扑(此拓扑也称作强双对偶拓扑,见于自反空间理论:豪斯多夫局部凸拓扑向量空间X,若 则称其是半自反空间,若在此之外,其在X上的强双对偶拓扑 还等于X的原/初拓扑,则称其是自反空间

正交、商与子空间

 是配对,则对X的任意子集S

  1.  ,且此集合是 -闭的;[1]
  2.  [1]
  • 因此,若SX -闭向量子空间,则 
  1.  X -闭向量子空间族,则

 [1]

  1.  X的子集族,则

 [1]

X是赋范空间,则根据规范对偶性,  中对范是封闭的, X中对范是封闭的。[1]

子空间

MX的向量子空间,并令 表示  的限制。 M上的弱拓扑 M 继承的子空间拓扑相同。

另外, 是配对空间(paired space)(其中  ),其中 定义为  

拓扑 等于M继承自 子空间拓扑[5] 此外,若 是对偶系统,则 也是。[5]

MX的向量子空间,则 是配对空间,其中 定义为  

拓扑 等同于  上诱导的一般的商拓扑[5]

极与弱拓扑

X是局部凸空间,且若H是连续对偶空间 的子集,则当且仅当对X中某B,有 时,H -有界的。[1]

下列结果对定义极拓扑非常重要。 若 是配对, [1]

  1. A的极  的闭子集。
  1. 下列集合的极相同:(a) A;(b) A的凸壳;(c) A平衡壳;(d) A -闭合;(e) A凸平衡壳 -闭合。
  1. 双极定理A的双极 等于A的凸平衡壳的 -闭合。
  1. 当且仅当 吸收Y时,A -有界的。
  2. Y还分离X的点,则当且仅当A -全有界时,A -有界的。

 是配对, X上与对偶一致的局部凸拓扑,则当且仅当BY的某 -有界子集的时,  中的[6]

转置

线性映射关于配对的转置

   上的配对,并令 是线性映射。

  是由 定义的映射。 若满足以下条件,就可以说F的转置或伴随是良定的(well-defined):

  1. X分离Y中的点(或等价地,从Y抵达代数对偶 的映射 单射),且
  2.  其中 

这样, 存在(由条件2)唯一的(由条件1) ,使 ,其中Y的这个元素将表为 。这定义了线性映射  

称作F的转置或关于  的伴随(注意不要与厄米伴随混淆)。不难看出,上述两个条件(即“转置良定义”)也是 良定的必要条件。   的定义条件是   即,  

根据本文开头提到的约定,这也定义了形式为 [note 4]  [note 5]  [note 6]  [note 7]等的线性映射的转置(见脚注)。

转置的性质

   上的配对, 是线性映射,其转置 是良定义的。

  • 当且仅当F的范围在 中稠密时, 单射(即 )。[1]
  • 若除了 良定义外, 的转置也良定义,则 
  •   上的配对, 是线性映射,其转置 是良定义的,则 的转置 也是良定义的,且 
  •  是向量空间同构,则 是双射, 的转置 是良定义的,且 [1]
  •   表示A绝对极,则[1]
    1.  
    2.  ,则 
    3.  使得 ,则 
    4.   是弱闭圆盘,则当且仅当 时, 
    5.  
将绝对极换成实极,这些结果不变。

XY是规范对偶下的赋范空间、 是连续线性映射,则 [1]

弱连续性

线性映射 ,若 连续,则称其(关于  弱连续

下面的结果表明,转置映射的存在与弱拓扑密切相关。

命题 — X分离Y的点, 是线性映射。 则下列条件等价:

  1. F是弱连续的(即 连续);
  2.  
  3. F的转置是良定义的。

F是弱连续的,则

  •  是弱连续的,即 连续;
  • 当且仅当Z分离W的点,转置 良定义,这时 

弱拓扑与规范对偶

X是向量空间, 是其代数对偶。则X的所有 -有界子集包含于有限维向量子空间,X的所有向量子空间是 -闭的。[1]

弱完备性

 完备拓扑向量空间,例如X -完备或(若无歧义)弱完备的情形。 存在不弱完备的巴拿赫空间(尽管在其范拓扑中是完备的)。[1]

X是向量空间,则在规范对偶下, 是完备的。[1] 相反,若Z是豪斯多夫局部凸拓扑向量空间,且有连续对偶空间 ,则当且仅当 时, 是完备的;即,当且仅当将 发送到z处求值映射(即 )的映射 是双射。[1]

特别地,就规范对偶而言,若Y 的向量子空间,使Y分离X中的点,则当且仅当  是完备的。 换句话说, 不存在紧合向量子空间 使得 是豪斯多夫空间,且Y弱-*拓扑(即逐点收敛的拓扑)中完备。 因此,若豪斯多夫局部凸拓扑向量空间X的连续对偶空间  被赋以弱*-拓扑,当且仅当 (即X上所有线性泛函都连续)时, 是完备的。

Y与代数对偶的子空间的等同

X分离Y的点、Z表示单射 的范围,则ZX的代数对偶空间的向量子空间,且配对 与规范配对 (其中 是自然求值映射)是规范等同(canonically identify)的。 特别地,这时我们将不失一般性地假设YX代数对偶的向量子空间,而b是求值映射。

约定:通常,只要 是单射(尤其当 形成对偶对),通常不失一般性地假设YX的代数对偶空间的向量子空间,且b是自然求值映射,Y还可记作 

完全类似的是,若Y分离X中的点,则X就有可能等同于Y的代数对偶空间的向量子空间。[2]

代数伴随

在对偶是规范对偶  的特例下,线性映射 的转置总是良定义的。 此转置称作F代数伴随,记作 ; 即  这样, [1][7]其中 的定义条件是   或等价地 

若对整数n  X的基,其对偶基 是线性算子,F关于 的矩阵表示是 ,则M的转置是 关于 的矩阵表示。

弱连续性与开性

  是对偶系统的规范配对(所以 ),并令 是线性映射。则当且仅当 满足下列等价条件之一,F是弱连续的:[1]

  1.  连续;
  2.  
  3. F的转置 相对于  是良定义的。

F是弱连续的,则 是连续的,于是 [7]

拓扑空间之间的映射 ,若 开映射 g的范围),则称之是相对开的。[1]

 是对偶系统, 是弱连续线性映射。则下列条件等价:[1]

  1.  是相对开的;
  2.  的范围在Y -闭;
  3.  

此外

  • 当且仅当 是满射(或双射), 是单射(或双射);
  • 当且仅当 是相对开单射, 是满射。
拓扑向量空间之间映射的转置

当且仅当F是弱连续的,两拓扑向量空间之间映射的转置才被定义。

 是两豪斯多夫局部凸拓扑向量空间之间的线性映射,则[1]

  • F连续,则其是弱连续的,且 是麦基连续的,也是强连续的;
  • F是弱连续的,则其是麦基连续的,也是强连续的(定义见下)。
  • F是弱连续的,则当且仅当  等度连续子集映射到 的等度连续子集时,F才是连续的。
  • XY是赋范空间,则当且仅当F是弱连续的(这时 ),F连续。
  • F连续,则当且仅当 是弱相对开的(即 是相对开的)、且 的等度连续子集都是 的某等度连续子集的像时,F是相对开的。
  • F是连续单射,则当且仅当 的等度连续子集都是 的某等度连续子集的像, 是拓扑向量空间嵌入(或等价的拓扑嵌入)。

可度量化性与可分性

X局部凸空间,有连续对偶空间 ,并令 [1]

  1. K等度连续 -紧的,且 使得 X中稠密,则K 继承的子空间拓扑等同于K 继承的子空间拓扑。
  2. X可分的K是等度连续的,则K被赋予由 诱导的子空间拓扑后是可度量化的。
  3. X是可分、可度量化的,则 是可分的。
  4. X是赋范空间,则当且仅当给定由 诱导的子空间拓扑,X的连续对偶空间的封闭单元(X的连续对偶空间)可度量时,X是可分的。
  5. X是赋范空间,其连续对偶空间可分(给定通常的范拓扑)时,X可分。

极拓扑与同配对相容的拓扑

从弱拓扑开始,极基的使用会产生一系列局部凸拓扑。这样的拓扑称作极拓扑,弱拓扑是其中最弱的。

 将是 上的配对, 将是X -有界子集的非空集合。

极拓扑

给定X子集的集合 Y上由 (与b)定义的极拓扑(或Y上的 -拓扑)是Y上唯一的拓扑向量空间拓扑,其中   形成了原点邻域的子基[1] Y被赋予这 -拓扑时,就表示为 。极拓扑都需要是局部凸的。[1]  是关于子集包含的有向集合时(即若  使得 ),则此0处的邻域子基实际上形成了0处的邻域基[1]

下面列出了一些较重要的极拓扑。

符号:若 表示Y上的极拓扑,则呗赋予此拓扑的Y将记作  (如对 我们有 ,这样  都表示赋予了 Y)。
 
(“…上一致收敛的拓扑”)
记作 名称(“…的拓扑”) 又称
X的有限子集
(或X有限子集的 -闭圆盘化壳
 
 
逐点/简单收敛 弱/弱-*拓扑
 -紧圆盘   麦基拓扑
 -紧凸子集   紧凸收敛
 -紧子集
(或平衡 -紧子集)
  紧收敛
 -有界子集  
 
有界收敛 强拓扑
最强的极拓扑

与极拓扑有关的定义

连续性 连续,则线性映射 是(关于  麦基连续的。[1]

 是连续的,则线性映射 是(关于  )强连续的。[1]

有界子集

X的子集,若在 (或  )中有界,则称X弱有界(或麦基有界强有界)。

同配对相容的拓扑

  上的配对, X上的向量拓扑,则 是配对的拓扑,且若其局部凸、 的连续对偶空间 ,则称之与配对 相容或一致。[note 8]X分离Y的点,则Y可视作X的代数对偶的向量子空间,定义条件变为 [1]有人(如[Trèves 2006]、[Schaefer 1999])要求配对的拓扑也要是豪斯多夫的,[2][8]Y分离X的点(这些学者假设),则必须是豪斯多夫的。

弱拓扑 同配对 相容(如弱表示定理所示),事实上是最弱的拓扑。还有一种与这种配对相容的最强拓扑,即麦基拓扑。 若N是非自反的赋范空间,则其连续对偶空间上通常的范拓扑同对偶 不相容。[1]

麦基–阿伦定理

下面是对偶理论中最重要的定理之一。

麦基–阿伦定理 I[1] —  是配对,使X分离Y的点,并令 X上的局部凸拓扑(不必豪斯多夫)。 则,当且仅当 是由某覆盖了Y[note 9] -紧圆盘集合 确定的极拓扑时,称 与配对 相容。

由此可见,麦基拓扑 是由Y中所有 -紧圆盘生成的极拓扑,是X上与配对  相容的最强局部凸拓扑。 给定拓扑与麦基拓扑相同的局部凸空间称作麦基空间。 上述麦基-阿伦定理的一下结果也称作麦基-阿伦定理。

麦基–阿伦定理 II[1] —  是配对,使得X分离Y的点,并且 X上的局部凸拓扑。则,当且仅当  与配对相容。

麦基定理、桶与闭凸集

X是(  上的)拓扑向量空间,则半空间(half-space)是形式为 的集合。(r是实数,fX上的连续实值线性泛函)

定理 — X是(  上的)局部凸空间、CX的非空闭凸子集,则 等于包含它的所有闭半空间的交。[9]

上述定理说明,局部凸空间的闭子集和凸子集完全取决于连续对偶空间。于是,在任何与配对相容的拓扑中,闭子集和凸子集都相同;即,若  X上的任意局部凸拓扑,且有同样的连续对偶空间,则当且仅当X的凸子集在 拓扑中封闭,,此子集也在 拓扑中封闭。 这说明,X任意凸子集的 -闭等同于其 -闭,对X中任意 -闭圆盘A [1] 特别地,若BX的一个子集,则当且仅当B 中的桶时,B也是 中的[1]

下面的定理说明,(即闭吸收圆盘)恰是弱有界子集的极。

定理[1] —  是配对,使得X分离Y的点,并令 为配对的某拓扑。 则当且仅当X的子集等于Y的某 -有界子集的极时,此子集是X中的桶。

X是拓扑向量空间,则[1][10]

  1. X的闭吸收平衡子集B吸收X的所有凸紧子集(即存在正实数r使得 包含此集)。
  2. X是豪斯多夫局部凸的,则X中每个桶都吸收X的每个凸有界完备子集。

所有这些都引出了麦基定理,这是对偶系统理论的核心定理之一。简言之,定理支出,对符合相同对偶性的两豪斯多夫局部凸拓扑,有界子集是相同的。

麦基定理[10][1] —  是豪斯多夫局部凸空间,有连续对偶空间 ,并考虑规范对偶 。 若 X上任意与对偶 相容的拓扑,则 的有界子集与 的有界子集相同。

有限序列空间

X表示标量 的所有序列的空间,且对所有足够大的i都有 。 令 ,定义双线性映射   [1] 此外,当且仅当存在正实数序列 ,使得 、及所有指标i(或还有 )时,子集  -有界(或 -有界)的。[1]

由此可见,X的子集中有弱有界(即 -有界)的,但没有强有界(即无 -有界)的。

另见

注释

  1. ^ 子集 ,若  推出 ,则称S为全子集。
  2. ^ b在第一坐标中线性显然。设c是标量,则 ,说明b在第二坐标中也线性。
  3. ^ Y上的弱拓扑是Y上使所有映射 连续的最弱的拓扑向量空间拓扑(xR上取值)。  的对偶定义也可用来表示赋有弱拓扑 Y。若R在语境中不明确,则应假定是X的全部,这时称之为Y上(由X诱导)的弱拓扑。
  4. ^  是线性映射,则当且仅当Z分离W的点、 时,G的转置 是良定的。这时,  的定义条件是: 
  5. ^  是线性映射,则当且仅当X分离Y的点、 时,H的转置 是良定的。这时,  的定义条件是: 
  6. ^  是线性映射,则当且仅当W分离Z的点、 时,H的转置 是良定的。这时  的定义条件是: 
  7. ^  是线性映射,则当且仅当Y分离X的点、 时,H的转置 是良定的。这时,  的定义条件是: 
  8. ^ 当然,Y上拓扑也有“与配对相容”的类似定义,但本文只讨论X上的拓扑。
  9. ^ 集合S与其子集的集合 ,若S的点都包含于 中的某集合,称 覆盖S

参考文献

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  10. ^ 跳转到: 10.0 10.1 Trèves 2006,第371–372頁.

书目

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  • Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis, Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. ISBN 0-12-585050-6.
  • Rudin, Walter. Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics Second. New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277. 
  • Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. Topological Vector Spaces. GTM Second. New York, NY: Springer New York Imprint Springer. 1999. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. 
  • Schmitt, Lothar M. An Equivariant Version of the Hahn–Banach Theorem. Houston J. Of Math. 1992, 18: 429–447 [2024-04-03]. (原始内容存档于2022-01-24). 
  • Trèves, François. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. [1967]. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322. 

外部链接