局部域

在數學上，局部域是一類特別的域，它有非平凡的絕對值，此絕對值賦予的拓撲是局部緊的。局部域可粗分為兩類：一種的絕對值滿足阿基米德性質（稱作阿基米德局部域），另一種的絕對值不滿足阿基米德性質（稱作非阿基米德局部域）。在數論中，數域的完備化給出局部域的典型例子。

非阿基米德局部域

設$F$為非阿基米德局部域，而$|\cdot |$為其絕對值。關鍵在下述對象：

• 閉單位球：$\{a\in F:|a|\leq 1\}$，或其整數環${\mathcal {O}}$，這是個緊集。
• 整數環裡的單位元素：${\mathcal {O}}^{\times }=\{a\in F:|a|=1\}$
• 開單位球：$\{a\in F:|a|<1\}$，這同時是其整數環裡唯一的極大理想，也記作${\mathfrak {m}}$。

上述對象與賦值環的構造相呼應；事實上，可證明必存在實數$0<c<1$及離散賦值$v:F^{\times }\rightarrow \mathbb {Z}$，使得

$\forall a\in F\;c^{v(a)}=|a|$.

可取唯一的$c$使得$v$為滿射，稱之為正規化賦值。

從此引出非阿基米德局部域的另一個等價定義：一個域$F$，帶離散賦值$v:F^{\times }\rightarrow \mathbb {Z}$，使得$F$成為完備的拓撲域，而且剩餘域有限。

這類局部域的行為可由局部類域論描述。

分類

局部域的完整分類如次：

• $\mathbb {R} ,\mathbb {C}$。這些是阿基米德局部域。
• p進數域$\mathbb {Q} _{p}$的有限擴張。這些是特徵為零的非阿基米德局部域。
• $\mathbb {F} _{q}((T))$的有限擴張（其中$\mathbb {F} _{q}$表有q個元素的有限域）。這些是特徵非零的非阿基米德局部域。

文獻

• Milne, James, Algebraic Number Theory.
• Serre, Jean-Pierre. Corps locaux. Hermann. 1968.