度数矩阵

在数学领域图论中，无向图的度数矩阵（英語：degree matrix）是一个对角矩阵 ，其中包含的信息为的每一个顶点的度数，也就是每个顶点相邻的边数。 它可以和邻接矩阵一起使用以构造图的拉普拉斯算子矩阵（拉普拉斯矩阵是度数矩阵和邻接矩阵的差值）。

定义

给定一个图 $G=(V,E)$ 与 $|V|=n$， $G$的度数矩阵 $D$是一个 $n\times n$的对角线矩阵，其定义为

$d_{i,j}:=\left\{{\begin{matrix}\deg(v_{i})&{\mbox{if}}\ i=j\\0&{\mbox{otherwise}}\end{matrix}}\right.$

其中度数 $\deg(v_{i})$为这个顶点上的边的条数。 在无向图中，这意味着每个环会使得度数增加2。 在有向图中，术语“度”可以指“入度”（indegree，终点在这个顶点的边的条数）或“出度”（ outdegree，起点在这个顶点的边的条数）。

例子

下面的无向图有一个6x6的度数矩阵，其数值为。

Vertex labeled graph	度数矩阵
	${\begin{pmatrix}4&0&0&0&0&0\\0&3&0&0&0&0\\0&0&2&0&0&0\\0&0&0&3&0&0\\0&0&0&0&3&0\\0&0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}$

注意，对于无向图而言，开始和结束于同一节点的边（即环，如上图中的节点1）会使相应的度增加2（即被计算两次）。

性质

一个k-正则图的度数矩阵是恒为$k$的对角线矩阵。

根据度的总和公式，度数矩阵的迹是对应图的边数的两倍。