弗罗贝尼乌斯流形

微分几何中,杜布罗温提出的弗罗贝尼乌斯流形[1]切空间上具有某种兼容乘法结构的平坦黎曼流形。这一概念将弗罗贝尼乌斯代数推广到切丛。

弗罗贝尼乌斯流形自然出现于辛拓扑,更具体地说是量子上同调之中。最广义的定义是黎曼超流形范畴,我们这里的讨论仅限于光滑(实)流形。也可限制在复流形。

定义

M为光滑流形。M上的仿射平面结构是指逐点扩张切丛TM、其切括号消失的向量空间的 Tf

局部例子:考虑M的表上的坐标向量场。若能将这样的向量场粘合到表的覆盖族中,则流形是仿射平面结构。

进一步给出M上的黎曼度量g。若对所有平面向量场X、Y 都是局部为常数的,那么就与平面结构相容。

当且仅当黎曼流形的曲率张量在任何地方都为0,才具有相容的仿射平面结构。

TM上的交换积*族等价于 的一个剖面A,通过

 

此外还需要属性

 

于是组合g#A是对称3张量。

这就意味着具有常数积的线性弗罗贝尼乌斯流形 是弗罗贝尼乌斯代数M

给定 ,则局部势Φ是局部光滑函数,使得对所有向量场X、Y、Z,有

 

弗罗贝尼乌斯流形 现在是平坦黎曼流形 ,其对称3张量A在任何地方都有局部势,且是结合的。

基本性质

积*的结合性等价于局部势Φ中的下列二次偏微分方程

 

当中隐含了爱因斯坦求和约定 表示Φ函数对坐标矢量场的偏导数 ,已经假定后者是平坦的; 是度量的系数之逆。

于是,方程称作结合性方程,或威滕-迪杰格拉夫-韦尔兰德-韦尔兰德(Witten–Dijkgraaf–Verlinde–Verlinde,WDVV)方程。

例子

除了弗罗贝尼乌斯代数外,量子上同调中也有些例子。比如,给定半正定辛流形 ,则在诺维科夫环C上的偶量子上同调 存在0的开邻域U,同时Ua的大量子积 是解析的。现在U连同相交形式 是(复)弗罗贝尼乌斯流形。

弗罗贝尼乌斯流形的第二大类例子来自奇异点理论。比如,孤立奇异点的最小变形空间具有弗罗贝尼乌斯流形结构,其也与斋藤恭司的原形式有关。

参考文献

  1. ^ B. Dubrovin: Geometry of 2D topological field theories. In: Springer LNM, 1620 (1996), pp. 120–348.

2. Yu.I. Manin, S.A. Merkulov: Semisimple Frobenius (super)manifolds and quantum cohomology of Pr页面存档备份,存于互联网档案馆), Topol. Methods in Nonlinear Analysis 9 (1997), pp. 107–161