微元法

微元法（英語：Differential element method），也叫元素法、微元素法、无穷小元素的求和法，是数学和物理中常用的一种求解数学和物理问题的方法。

概述

在求解力学量和物理量的实际应用中，很多新量的建立需要类似定积分中在求解面积和路程问题时分割、近似、求和、取极限的过程，为了使这一过程简化，微元法也就应运而生，微元法本身就是定积分的原始思想，它可以看做分割、近似、求和、取极限的简略过程，所以微元法也是一种思想方法。

历史上，在微积分的理论基础还不清楚，微分还没有严格定义时，微分被理解为一个比零大，但又比任何正数小的神秘的“数”，是无法理解的，这与现代明确的微分定义是不同的，它所对应的被度量的物理量就是微元。微元就是用这种无限小“微分”度量的具体的量，把微元理解为一个“无限小的过程”即“元过程”，这个“过程”可以是角度、线段、面、体，还可以是时间、位移、功等等，积分便是这些“无限小过程”之和，在求解力学量和物理量时，用这种想法可以快速地建立新量的积分表达式，因为这种想法方便实用，简便快捷，所以应用相当广泛。

当微积分的理论基础严格建立起来之后，旧的微分概念被抛弃了，取而代之的是现在的微分概念，微元法也有了严格的叙述方式，但在实际应用中，严格叙述较为繁琐，所以往往还是采用过去的理解，把微元看做“无限小的过程”。

内容

假设在某一实际问题中，对于给定的连续函数$y=f(x)$，量$Q$有以下三个特点：

1.一方面，$Q$是由区间$[a,b]$所决定的常量，不妨记之为$Q([a,b])$。另一方面，当考虑右端点变动的区间$[a,x](a<x\leq b)$时，$Q([a,x])$又依赖于$x$而成为变量，也就是说，它又是$x$的函数而简记为$Q(x)$。
2.对于$[a,b]$的每个子区间，$Q$都有确定的值，并且关于区间有可加性，即若$[\alpha ,\beta ]\subset [a,b],[\beta ,\gamma ]\subset [a,b]$，则

$Q([\alpha ,\gamma ])=Q([\alpha ,\beta ])+Q([\beta ,\gamma ]).$

3.部分量$\Delta Q_{i}$的近似值可表示为$f(\xi _{i})\Delta x_{i}$。

为了计算出量$Q$并把它表达为积分的形式，我们采取两个步骤：

第一步（分割、近似），将区间$[a,b]$进行分割，而得到

$a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b$,

并求出$Q([x_{i},x_{i+1}])$(即$\Delta Q_{i}$)的近似值$f(\xi _{i})\Delta x_{i}$。

第二步（求和、取极限），将$f(\xi _{i})\Delta x_{i}$关于$i$从$0$到$n-1$求和得到

$Q([a,b])=\sum _{i=0}^{n-1}Q([x_{i},x_{i+1}])\approx \sum _{i=0}^{n-1}f(\xi _{i})\Delta x_{i}$

令$max\left\{\Delta x_{i}\right\}\rightarrow 0$取极限，由于连续函数$f(x)$的可积性，最后得

$Q([a,b])=\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

接下来我们把这个过程进行简化。

由上式可以知道

$Q(x)=Q([a,x])=\int _{a}^{x}f(x)\,dx(a<x\leq b)$

如果略去足码$i$，而将任意的小区间记为$[x,x+dx]$，并取$Q([x,x+dx])$的近似值为$f(x)dx$，由微分形式的微积分基本定理可知，它恰恰是$Q(x)$的微分，即$dQ=dQ(x)=f(x)dx$ 于是在实际应用上，上述两个步骤可以简述为

第一步，在区间$[x,x+dx]$上计算$Q$的微分$dQ=f(x)dx$

第二步，在$[a,b]$上求和（求积）得

$Q=\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

不论是几何的物理的还是其他科学技术的量，只要它具有上述的三个特点，我们就可以用这个一般的程式求出它。这种方法通常称为无穷小元素的求和法或微元法。而$dx$及$dQ$则称为无穷小元素或微元。由于在力学和物理学的大部分问题中，通过问题的实际意义可以知道，所求量的函数是连续函数，因此微元法总是可以应用的。

参考资料

• 《微积分学教程》菲赫金哥尔茨编
• 《数学分析》宋国柱等编
• 《数学分析（第三版）》华东师范大学数学系编
• 《高等数学（第六版）》同济大学数学系编