截角大十二面體

截角大十二面體
類別	星形均勻多面體
對偶多面體	小星形五角化十二面體
識別
名稱	截角大十二面體
參考索引	U37, C47, W75
鮑爾斯縮寫; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	tigid
數學表示法
施萊夫利符號	t0,1{5,5/2}
威佐夫符號; （英语：Wythoff symbol）	2 5/2 \| 5; 2 5/3 \| 5
性質
面	24
邊	90
頂點	60
歐拉特徵數	F=24, E=90, V=60 （χ=-6）
組成與佈局
面的種類	12個五角星{5/2}; 12個正十邊形{10}
面的佈局; （英语：Face configuration）	12{5/2}+12{10}
頂點圖	10.10.5/2
對稱性
對稱群	Ih, [5,3], *532
圖像
	; 10.10.5/2; （頂點圖）
	; 小星形五角化十二面體; （對偶多面體）
	查; 论; 编;

在幾何學中，截角大十二面體是一種具有二十面體對稱非凸均勻多面體，由24個面組成，其結構可以視為切去大十二面體的12個頂點而得，其具有12對互相平行面，因此也可以視為一種平行多面體，其對偶多面體為小星形五角化十二面體^[1]^[2]。

分類

1993年，茲維·喀拉·埃爾發表的論文《Uniform Solution for Uniform Polyhedra》中，將截角大十二面體編號為K₄₂，表示其為一個二十面體對稱的多面體^[3]，同一年，馬德爾參考茲維·喀拉·埃爾的分類方式，將截角大十二面體給予索引編號U₃₇^[4]。其也被考克斯特的論文收錄，並給予編號C₄₇^[5]。溫尼爾也在他的書《多面體模型》中將之給予編號W₇₅^[6]。

性質

截角大十二面體由24個面、90條邊和60個頂點組成^[7]，是一種二十四面體。每個頂點都是2個十邊形和1個五角星的公共頂點。

面的組成

截角大十二面體由24個面組成，在其二十四個面中，有12個五角星面和12個十邊形面，其中有12個面是非凸面。

二面角

截角大十二面體有兩種二面角，包括了十邊形-十邊形二面角和十邊形-五角星二面角。其中十邊形-十邊形二面角為五平方根倒數的反餘弦值；十邊形-五角星二面角為負的五平方根倒數之反餘弦值。^[8]

{\text{Angle}}_{\left\{10\right\},\left\{10\right\}}=\cos ^{-1}{\frac {\sqrt {5}}{5}}\approx 63.434948823^{\circ }

{\text{Angle}}_{\left\{10\right\},\left\{{^{5}}/{_{2}}\right\}}=\cos ^{-1}{\frac {-{\sqrt {5}}}{5}}\approx 116.565051177^{\circ }

其中 ${\left\{10\right\},\left\{{^{5}}/{_{2}}\right\}}$ 為十邊形和五角星的施萊夫利符號。

頂點座標

邊長長度為1單位且幾何中心位於原點的截角大十二面體，其頂點座標為^[9]

(\pm {\frac {1}{2}},0,\pm {\frac {5+{\sqrt {5}}}{4}})

、

(\pm {\frac {5+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {1}{2}},0)

、

(0,\pm {\frac {5+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {1}{2}})

、

(\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}})

、

(\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {1}{2}})

、

(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}})

、

(\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {{\sqrt {5}}\pm 1}{4}},\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}})

、

(\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {{\sqrt {5}}\pm 1}{4}})

、

(\pm {\frac {{\sqrt {5}}\pm 1}{4}},\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}})

。

相關多面體

截角大十二面體的頂點布局與多種多面體相同。其中三種為均勻多面體相同，分別為非凸大斜方截半二十面體、大十二面截半二十面體和大斜方十二面體；還有2種複合多面體，分別是六複合五角柱（英语：Compound of six pentagonal prisms）和二十複合五角柱（英语：Compound of twelve pentagonal prisms）。

非凸大斜方截半二十面體	大十二面截半二十面體	大斜方十二面體
截角大十二面體	六複合五角柱（英语：Compound of six pentagonal prisms）	二十複合五角柱（英语：Compound of twelve pentagonal prisms）

這個多面體是大十二面體經過截角變換後的結果，大十二面體在不同的截角深度也得到有不同的結果，例如節到中點後得到截半大十二面體，過截角後得到的立體則與對偶多面體的截角等價，為截角小星形十二面體。這種多面體外觀與正二十面體幾乎一樣，但其有24個面，12個面是來自截角後的頂點以及12個截角的五角星與之重合。