拉格朗日括号

拉格朗日括号是一种与泊松括号关系密切的运算，1808年至1810年间由约瑟夫·拉格朗日最早用于经典力学之中。不过与泊松括号相比，拉格朗日括号在今日已不常使用。

定义

令(q₁, …, q_n, p₁, …, p_n)为相空间中的正则坐标，且每一个坐标都可表示为两个变量u与v的函数，则u和v的拉格朗日括号为：

$[u,v]_{p,q}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\right).$

性质

• 拉格朗日括号与特定的正则坐标无关(q, p)。如取另一组正则坐标(Q,P) = (Q₁, …, Q_n, P₁, …, P_n)，满足正则变换

$Q=Q(q,p),P=P(q,p)$

此时拉格朗日括号不变，即

$[u,v]_{q,p}=[u,v]_{Q,P}$

因而通常情况下会省略下标。

• 如果2n维相空间W上有辛形式Ω，u₁,…,u_2n是W上的一个坐标系，那么正则坐标(q,p)可表示为u的函数，而拉格朗日括号所组成的矩阵

$[u_{i},u_{j}]_{p,q},\quad 1\leq i,j\leq 2n$

表示在]Ω在坐标系u下的分量，可看作一个张量。这个矩阵是由泊松括号所组成的矩阵

$\{u_{i},u_{j}\},\quad 1\leq i,j\leq 2n$

的逆矩阵。

• 由上述性质可以得到，相空间上的坐标(Q₁, …, Q_n, P₁, …, P_n)是正则的，当且仅当它们之间的拉格朗日括号有如下形式：

$[Q_{i},Q_{j}]_{p,q}=0,\quad [P_{i},P_{j}]_{p,q}=0,\quad [Q_{i},P_{j}]_{p,q}=-[P_{j},Q_{i}]_{p,q}=\delta _{ij}.$

参见

• 拉格朗日力学
• 哈密顿力学

参考文献

• Cornelius Lanczos, The Variational Principles of Mechanics, Dover (1986), ISBN 0-486-65067-7.
• Iglesias, Patrick, Les origines du calcul symplectique chez Lagrange [The origins of symplectic calculus in Lagrange's work], L'Enseign. Math. (2) 44 (1998), no. 3-4, 257--277. MR1659212