杜哈梅积分

振动理论中,杜哈梅积分(Duhamel's integral)是求解线性系统在任意外载激励下响应的一种方法。

概要介绍

问题背景

受随时间变化的外载p(t)和粘性阻尼作用下的线性单自由度(SDF)系统运动方程是一个二阶常微分方程,可写为

 

其中m为等效振子的质量,x代表系统振幅,t代表时间,c是粘性阻尼系数,k是系统刚度

若初始静止于平衡位置的系统在t=0时刻受到一个单位冲击载荷作用,即p(t)是一个狄拉克δ函数δ(t), ,可以解得系统响应(称为单位脉冲响应函数)为

 

其中 称为系统的阻尼比 是系统在无阻尼状态下振动的固有圆频率 是系统在当前存在的阻尼c作用下的实际振动圆频率。推广到任意时刻τ时受到冲击载荷 作用的脉冲响应为

  

结论导出

将任意载荷p(t)视为一系列脉冲激励的迭加

 

那么根据线性性质可知,系统的响应同样可以表示成对这一系列脉冲激励的响应函数迭加

 

 时,连续求和转化为积分,此时上面的等式是严格成立的

 

h(t-τ)的表达式代入即得杜哈梅积分的一般形式:

 

参考文献

  • 倪振华 编著,《振动力学》,西安交通大学出版社,西安,1990
  • R. W. Clough, J. Penzien, Dynamics of Structures, Mc-Graw Hill Inc., New York, 1975.(中文版:R.W.克拉夫,J.彭津 著,王光远等 译,《结构动力学》,科学出版社,北京,1981)
  • Anil K. Chopra, Dynamics of Structures - Theory and applications to Earthquake Engineering, Pearson Education Asia Limited and Tsinghua University Press, Beijing, 2001
  • Leonard Meirovitch, Elements of Vibration Analysis, Mc-Graw Hill Inc., Singapore, 1986