根基

在数论中，将正整数 n 的根基（英文：radical）定义为 n 的所有素因数（质因数）的积：

$$\displaystyle \mathrm {rad} (n)=\prod _{\scriptstyle p\mid n \atop p{\text{ prime}}}p$$

整数的根运算对简化abc猜想的表述起到重要作用。

例子

在不与开方运算里的“根（root）”的概念混淆的情况下，也常简称“根”。例如我们有

$$504=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7$$

所以504的根计算如下

$$\operatorname {rad} (504)=2\cdot 3\cdot 7=42$$

根数列

所有正整数的根组成如下数列：

1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, 2, 17, 6, 19, 10, 21, 22, 23, 6, 5, 26, 3, 14, 29, 30, 31, 2, 33, 34, 35, 6, 37, 38, 39, 10, 41, 42, 43, 22, 15, 46, 47, 6, 7, 10, ... （OEIS數列A007947）.

性質

• $rad(n)$是積性函數。
• 對於任意整數$n$而言，$rad(n)$是其最大的無平方因子數因數，故$rad(n)$又稱$n$的無平方核心（square-free kernel）。截至目前為止，並無在多項式時間內計算$n$的無平方部分的算法。
• $rad(n)$可推廣為$n$最大的無$t$次方因子數因數$\mathrm {rad} _{t}$，而$\mathrm {rad} _{t}$是一個有如下定義的積性函數：

  $$\mathrm {rad} _{t}(p^{e})=p^{\mathrm {min} (e,t-1)}$$

  $t=3$及$t=4$的狀況分別由A007948和A058035列舉。

• 根基的表達式出現於abc猜想中，而這猜想表示說，對於任意的$\varepsilon >0$，都有一個$K_{\varepsilon }$，使得對於任意滿足$a+b=c$且互質的三元數組$a$、$b$、$c$而言，都有以下的關係：

  $$c<K_{\varepsilon }\,\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }$$

• 對於任意整數$n$而言，有限環$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$的所有幂零元都是$\operatorname {rad} (n)$的倍數。
• 根基有如下的狄利克雷級數：

  $\prod _{p}\left(1+{\frac {p^{1-s}}{1-p^{-s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {rad} (n)}{n^{s}}}$

扩展阅读

• 理想的根