记法
- :维数为n 的内积空间
- : 中的元素,可以是向量、函数,等等
- : 与 的内积
- : 、 …… 张成的子空间
- : 在 上的投影
基本思想
图1 在 上投影,构造 上的正交基
Gram-Schmidt正交化的基本想法,是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。
设 。 是 上的 维子空间,其标准正交基为 ,且 不在 上。由投影原理知, 与其在 上的投影 之差
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是正交于子空间 的,亦即 正交于 的正交基 。因此只要将 单位化,即
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那么 就是 在 上扩展的子空间 的标准正交基。
根据上述分析,对于向量组 张成的空间 ( ),只要从其中一个向量(不妨设为 )所张成的一维子空间 开始(注意到 就是 的正交基),重复上述扩展构造正交基的过程,就能够得到 的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化。
算法
首先需要确定已有基底向量的顺序,不妨设为 。Gram-Schmidt正交化的过程如下:
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这样就得到 上的一组正交基 ,以及相应的标准正交基 。
- 例
考察如下欧几里得空间Rn中向量的集合,欧氏空间上内积的定义为<a, b> = bTa:
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下面作Gram-Schmidt正交化,以得到一组正交向量:
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下面验证向量 与 的正交性:
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将这些向量单位化:
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于是 就是 的一组标准正交基底。
不同的形式
随着内积空间上内积的定义以及构成内积空间的元素的不同,Gram-Schmidt正交化也表现出不同的形式。
例如,在实向量空间上,内积定义为:
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在复向量空间上,内积定义为:
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函数之间的内积则定义为:
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与之对应,相应的Gram-Schmidt正交化就具有不同的形式。
参见
外部链接