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條件邊正多邊形凸多面體

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條件邊正多邊形凸多面體（Convex regular-faced polyhedra with conditional edges）是一種擬詹森多面體，也是共面擬詹森多面體的一種。其代表的是所有面都是正多邊形之非嚴格凸多面體的子集，其加入了一個條件——條件邊，即不能有邊兩兩共線的情況。加上這樣限制之後的「所有面都是正多邊形之非嚴格凸多面體」一共有78個。詹森多面體所代表的是所有面都是正多邊形之嚴格凸多面體，這些多面體共有92個，因此考慮了「條件邊」後的「所有面都是正多邊形之凸多面體（不限制嚴格凸）」這樣的立體共有170個。

條件邊正多邊形凸多面體
部分的條件邊正多邊形凸多面體
側錐雙新月雙罩帳
側錐雙新月雙罩帳 		二側錐八面體
二側錐八面體
正三角錐反角柱
正三角錐反角柱 		柱化異相雙三角柱
柱化異相雙三角柱

定義

若將詹森多面體的條件放寬成允許面兩兩共面，且所有頂點都要嚴格位於頂角上，不能有邊兩兩共線的情況（若允許邊兩兩共線，則結果會有無窮多種情況），也不能夠有頂點位於共面區域內部的情況，則能夠再列出有限個有此特性的立體。條件邊（conditional edges）指的是對應棱的二面角為平角的邊。[1]在這條件下，能允許互相共面的面有正三角形與正三角形（3+3）、正三角形與正方形（3+4）、正三角形與正五邊形（3+5）、正方形和兩個位於對側的正三角形（3+4+3）、正五邊形和兩個不相鄰的正三角形（3+5+3），也就是說，這些立體除了有正多邊形面外，也會存在上述組合之形狀的面。[2]這類立體一共有78個。[1]和詹森多面體一樣，這些立體除了一些基本立體外，都能夠用柱體、錐體和28種立體互相組合而成。[2]

歷史

擁有條件邊的基本立體由B·A·伊万諾夫（B. A.Ivanov）[3]和普里亞欣·尤·A（Prjahin Ju. A.）[4]分別於1971年和1973年發現，這些無法用其他立體組合而成的基本立體共有6個，阿列克謝·維克多羅維奇·蒂莫芬科（Aleksei Victorovich Timofeenko）將其中5五首先被伊万諾夫發現的立體稱為伊万諾夫立體（Ivanov solid），另一個則被稱為普里亞欣立體（Pryakhin solid）[5]。亞歷克斯·多斯基（Alex Doskey）[6]、羅傑·考夫曼（Roger Kaufman）和史蒂夫·沃特曼（Steve Waterman）[7]在2006年列出了大部分有此性質的立體。2008年，維克多·扎加勒（Victor Zalgaller）[8]和蒂莫芬科[5]獨立發現並列出這些立體。2010年，蒂莫芬科證明這些立體只有78種。[5][9]

列表

下表列出了所有78個條件邊正多邊形凸多面體。其中，Pn,k代表n個基本立體之組合的第k個立體[5]，由最多個基本立體組合成的條件邊正多邊形凸多面體是三側錐同相雙五角罩帳錐，由6個基本立體組合而成，分別為4個五角錐和2個五角罩帳。

Pn,k[5] Sn[8] 名稱 組合 3D模型 頂點 邊 面 F3 F4 F5 F6 F8 F10 F3+3 Fetc
Q1 Q1 斜六角柱 （基本立體）   12 18 8 2 2 4
Q2 Q2 六斜方十二面體 （hexarhombic dodecahedron） （基本立體）   18 28 12 4 4 4
Q3 Q3 （未命名） （基本立體）   15 29 16 9 2 3 2
Q4 Q4 （未命名） （基本立體）   15 27 14 5 2 3 4
Q5 Q5 （未命名） （基本立體）   22 42 22 10 4 2 2 4
Q6 Q6 （未命名） （基本立體）   18 33 17 7 3 3 1 3
P2,2 S3 同相雙三角柱 三角柱   8 12 6 4 2
P2,3 S4 側三角柱立方體 三角柱+立方體   10 15 7 5 2
P2,4 S5 側三角柱五角柱 三角柱+五角柱   12 18 8 6 2
P2,22 S14 側錐四角錐 正四面體+四角錐   6 9 5 2 1 2
P2,25 S17 側錐三角台塔 三角台塔+四角錐   10 16 8 2 2 1 3
P2,29 S22 側錐雙新月雙罩帳 雙新月雙罩帳+五角錐   15 29 16 9 2 3 2
P2,30 S46 側錐五角丸塔 五角丸塔+五角錐   21 36 17 7 5 1 4
P2,31 S24 五角丸塔錐 五角丸塔+五角錐   21 35 16 5 5 1 5
P2,33 S2 側錐三角廣底球狀罩帳 三角廣底球狀罩帳+五角錐   19 38 21 12 3 2 1 3
P2,34 S1 異側鄰二側錐雙新月雙罩帳 雙新月雙罩帳+五角錐   16 32 18 10 2 2 4
P2,38 S59 單旋側台塔截角四面體 截角四面體+三角台塔   15 24 11 2 3 3 3
P2,42 S60 單旋側台塔截角立方體 截角立方體+四角台塔   28 44 18 4 5 5 4
P2,48 S63 單旋側台塔截角十二面体 截角十二面体+五角台塔   65 100 37 15 5 1 11 5
P3,1 S6 側錐同相雙三角柱 三角柱+四角錐   9 16 9 4 3 2
P3,2 S10 柱化異相雙三角柱 三角柱+立方體   12 18 8 4 4
P3,3 S11 柱化同相雙三角柱 三角柱+立方體   12 18 8 6 2
P3,4 S9 對側錐側三角柱立方體 三角柱+立方體+四角錐   11 19 10 4 4 2
P3,5 S12 間二側三角柱五角柱 三角柱+五角柱   14 21 9 7 2
P3,6 S13 間側錐側三角柱五角柱 三角柱+五角柱+四角錐   13 22 11 4 5 2
P3,22 S40 五角丸塔錐柱 五角丸塔+十角柱+五角錐   31 55 26 5 10 5 1 5
P3,31 S41 五角丸塔錐反棱柱 五角丸塔+五角反棱柱+五角錐   31 65 36 25 5 1 5
P3,33 S15 側錐八面體 正八面體+正四面體   7 12 7 4 3
P3,34 S18 側錐同相雙三角台塔 三角台塔+四角錐   13 25 14 6 5 3
P3,35 S20 側錐截半立方體 截半立方體+四角錐   13 24 13 4 5 4
P3,36 S23 對二側錐雙新月雙罩帳 雙新月雙罩帳+五角錐   16 32 18 10 2 2 4
P3,37 S47 間二側錐五角丸塔 五角丸塔+五角錐   22 37 17 4 4 1 8
P3,38 S48 罩帳側錐異相五角帳塔罩帳 五角丸塔+五角台塔+五角錐   26 51 27 12 5 6 4
P3,39 S49 罩帳側錐同相五角帳塔罩帳 五角丸塔+五角台塔+五角錐   26 51 27 12 5 6 4
P3,40 S27 側錐截半二十面体 截半二十面体+五角錐   31 60 31 15 11 5
P3,41 S52 側錐同相雙五角丸塔 同相雙五角罩帳（英语：Pentagonal orthobirotunda）+五角錐   31 61 32 17 11 4
P3,42 S25 異相五角帳塔罩帳錐 五角帳塔+五角罩帳+五角錐   26 50 26 10 5 6 5
P3,43 S26 同相五角帳塔罩帳錐 五角帳塔+五角罩帳+五角錐   26 50 26 10 5 6 5
P3,44 S28 同相雙五角罩帳錐 五角罩帳+五角錐   31 60 31 15 11 5
P3,48 S61 單旋二側台塔截角立方體 截角立方體+四角台塔   32 56 26 8 10 4 4
P3,49 S62 雙旋二側台塔截角立方體 截角立方體+四角台塔   32 52 22 10 4 8
P3,51 S66 單旋間二側台塔截角十二面体 截角十二面体+五角台塔   70 115 47 20 10 2 10 5
P3,53 S64 單旋對二側台塔截角十二面体 截角十二面体+五角台塔   70 115 47 20 10 2 10 5
P3,54 S67 雙旋間二側台塔截角十二面体 截角十二面体+五角台塔   70 110 42 10 10 2 10 10
P3,55 S65 雙旋對二側台塔截角十二面体 截角十二面体+五角台塔   70 110 42 10 10 2 10 10
P4,1 S7 鄰二側錐同相雙三角柱 三角柱+四角錐   10 20 12 8 2 2
P4,2 S8 對二側錐同相雙三角柱 三角柱+四角錐   10 20 12 8 2 2
P4,5 S31 同相五角台塔丸塔柱錐 五角台塔+五角丸塔+十角柱+五角錐   36 70 36 10 15 6 5
P4,6 S32 異相五角台塔丸塔柱錐 五角台塔+五角丸塔+十角柱+五角錐   36 70 36 10 15 6 5
P4,7 S33 同相雙五角丸塔柱錐 五角丸塔+十角柱+五角錐   41 80 41 15 10 11 5
P4,8 S34 異相雙五角丸塔柱錐 五角丸塔+十角柱+五角錐   41 80 41 15 10 11 5
P4,9 S37 五角台塔丸塔反棱柱錐 五角台塔+五角丸塔+十角反棱柱+五角錐   36 80 46 30 5 6 5
P4,10 S38 雙五角丸塔反棱柱錐 五角丸塔+十角反棱柱+五角錐   41 90 51 35 11 5
P4,11 S16 二側錐八面體 正四面體+正八面體   8 12 6 6
P4,12 S19 間二側錐同相雙三角台塔 三角台塔+四角錐   14 26 14 4 4 6
P4,13 S21 對二側錐截半立方體 截半立方體+四角錐   14 24 12 4 8
P4,14 S50 間二側錐異相五角帳塔罩帳 五角帳塔+五角罩帳+五角錐   27 52 27 9 5 5 8
P4,15 S51 間二側錐同相五角帳塔罩帳 五角帳塔+五角罩帳+五角錐   27 52 27 9 5 5 8
P4,16 S44 間二側錐截半二十面体 截半二十面体+五角錐   32 60 30 10 10 10
P4,17 S53 同側間二側錐同相雙五角罩帳 五角罩帳+五角錐   32 62 32 14 10 8
P4,18 S29 對二側錐截半二十面体 截半二十面体+五角錐   32 60 30 10 10 10
P4,19 S57 異側鄰二側錐同相雙五角罩帳 五角罩帳+五角錐   32 62 32 14 10 8
P4,20 S58 異側對二側錐同相雙五角罩帳 五角罩帳+五角錐   32 62 32 14 10 8
P4,21 S42 異側側錐同相雙五角罩帳錐 五角罩帳+五角錐   32 61 31 12 10 9
P4,22 S30 同相雙五角罩帳雙錐 五角罩帳+五角錐   32 60 30 10 10 10
P4,25 S68 單旋三側帳塔截角十二面體 截角十二面体+五角帳塔   75 130 57 25 15 3 9 5
P4,26 S69 雙旋三側帳塔截角十二面體 截角十二面体+五角帳塔   75 125 52 15 15 3 9 10
P4,27 S70 三旋三側帳塔截角十二面體 截角十二面体+五角帳塔   75 120 47 5 15 3 9 15
P4,30 斜四角柱 正四面體+四角錐   8 12 6 2 4
P4,31 雙重側錐四角錐 （doubled augmented square pyramid）

雙斜三角柱 （doubled oblique triangular prism）
扭斜四角柱 （twist slant square prism）

正四面體+四角錐   8 14 8 4 2 2
P5,1 S35 同相雙五角罩帳柱雙錐 五角罩帳+十角柱+五角錐   42 80 40 10 10 10 10
P5,2 S36 異相雙五角罩帳柱雙錐 五角罩帳+十角柱+五角錐   42 80 40 10 10 10 10
P5,3 S39 雙五角罩帳反棱柱雙錐 五角罩帳+十角反棱柱+五角錐   42 90 50 30 10 10
P5,4 S45 三側錐截半二十面体 截半二十面体+五角錐   33 60 29 5 9 15
P5,5 S55 異側連三側錐同相雙五角罩帳 五角罩帳+五角錐   33 63 32 11 9 12
P5,6 S56 異側偏三側錐同相雙五角罩帳 五角罩帳+五角錐   33 63 32 11 9 12
P5,7 S43 異側間二側錐同相雙五角罩帳錐 五角罩帳+五角錐   33 62 31 9 9 13
P6,1 S54 三側錐同相雙五角罩帳錐 五角罩帳+五角錐   34 64 32 8 8 16

參見

參考文獻

  1. ^ 1.0 1.1 Robert R Tupelo-Schneck. Convex regular-faced polyhedra with conditional edges. [2023-01-31]. （原始内容存档于2021-08-18）. 
  2. ^ 2.0 2.1 Robert R Tupelo-Schneck. Regular-faced Polyhedra. [2023-02-01]. （原始内容存档于2022-11-14）. 
  3. ^ Ivanov, B. A. Polyhedra with boundary surfaces compounded from regular polygons. Ukrainskiĭ Geometricheskiĭ Sbornik. 1971, 10: 20–34. ISSN 0135-6992 （俄语）. 
  4. ^ Prjahin, Ju. A. Convex polyhedra with regular faces. Ukrainskiĭ Geometricheskiĭ Sbornik. 1973, (No. 14): 83–88 （俄语）. 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 Timofeenko, Aleksei Victorovich. Junction of noncomposite polygons. Algebra i Analiz (St. Petersburg Department of Steklov Institute of Mathematics, Russian~…). 2009, 21 (3): 165–209. 
  6. ^ Alex Doskey. Convex Diamond-Regular Polyhedra. [2023-01-31]. （原始内容存档于2023-01-31）. 
  7. ^ Steve Waterman. Convex hulls having regular diamonds. [2023-01-31]. （原始内容存档于2023-01-31）. 
  8. ^ 8.0 8.1 Gurin, AM and Zalgaller, VA. On the history of the study of convex polyhedra with regular faces and faces composed of regular ones. Translations of the American Mathematical Society-Series 2. 2009, 228: 169. 
  9. ^ Timofeenko, Aleksei Victorovich. Corrections to “Junction of noncomposite polyhedra”. St. Petersburg Mathematical Journal. 2012-08-01, 23 (4): 779–780 [2023-01-31]. ISSN 1061-0022. doi:10.1090/S1061-0022-2012-01217-3 （英语）. 
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