梯度下降法 （英語：Gradient descent ）是一个一阶最优化 算法 ，通常也称为最陡下降法 ，但是不該與近似積分的最陡下降法 （英語：Method of steepest descent ）混淆。
要使用梯度下降法找到一个函数的局部极小值 ，必须向函数上当前点对应梯度 （或者是近似梯度）的反方向 的规定步长距离点进行迭代 搜索。如果相反地向梯度正方向 迭代进行搜索，则会接近函数的局部极大值 点；这个过程则被称为梯度上升法 。
梯度下降法的描述。 梯度下降方法基于以下的观察：如果实值函数
F
(
x
)
{\displaystyle F(\mathbf {x} )}
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
可微 且有定义，那么函数
F
(
x
)
{\displaystyle F(\mathbf {x} )}
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
梯度 相反的方向
−
∇
F
(
a
)
{\displaystyle -\nabla F(\mathbf {a} )}
因而，如果
b
=
a
−
γ
∇
F
(
a
)
{\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {a} -\gamma \nabla F(\mathbf {a} )}
对于一個足够小数值
γ
>
0
{\displaystyle \gamma >0}
F
(
a
)
≥
F
(
b
)
{\displaystyle F(\mathbf {a} )\geq F(\mathbf {b} )}
考虑到这一点，我们可以从函数
F
{\displaystyle F}
x
0
{\displaystyle \mathbf {x} _{0}}
x
0
,
x
1
,
x
2
,
…
{\displaystyle \mathbf {x} _{0},\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\dots }
x
n
+
1
=
x
n
−
γ
n
∇
F
(
x
n
)
,
n
≥
0
{\displaystyle \mathbf {x} _{n+1}=\mathbf {x} _{n}-\gamma _{n}\nabla F(\mathbf {x} _{n}),\ n\geq 0}
因此可得到
F
(
x
0
)
≥
F
(
x
1
)
≥
F
(
x
2
)
≥
⋯
,
{\displaystyle F(\mathbf {x} _{0})\geq F(\mathbf {x} _{1})\geq F(\mathbf {x} _{2})\geq \cdots ,}
如果顺利的话序列
(
x
n
)
{\displaystyle (\mathbf {x} _{n})}
步长
γ
{\displaystyle \gamma }
右侧的图片示例了这一过程，这里假设
F
{\displaystyle F}
碗 形。蓝色的曲线是等高线 （水平集 ），即函数
F
{\displaystyle F}
等高线 垂直）。沿着梯度下降 方向，将最终到达碗底，即函数
F
{\displaystyle F}
梯度下降法处理一些复杂的非线性函数会出现问题，例如Rosenbrock函數
f
(
x
,
y
)
=
(
1
−
x
)
2
+
100
(
y
−
x
2
)
2
.
{\displaystyle f(x,y)=(1-x)^{2}+100(y-x^{2})^{2}.\quad }
其最小值在
(
x
,
y
)
=
(
1
,
1
)
{\displaystyle (x,y)=(1,1)}
f
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle f(x,y)=0}
(
x
,
y
)
=
(
1
,
1
)
{\displaystyle (x,y)=(1,1)}
下面这个例子也鲜明的示例了"之字"的上升 （非下降），这个例子用梯度上升 （非梯度下降）法求
F
(
x
,
y
)
=
sin
(
1
2
x
2
−
1
4
y
2
+
3
)
cos
(
2
x
+
1
−
e
y
)
{\displaystyle F(x,y)=\sin \left({\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{4}}y^{2}+3\right)\cos(2x+1-e^{y})}
局部极大值 （非局部极小值）。
梯度下降法的缺點包括：[ 1]
靠近局部極小值时速度减慢。
直線搜索可能會產生一些問題。
可能會“之字型”地下降。 上述例子也已体现出了这些缺点。
Mordecai Avriel (2003). Nonlinear Programming: Analysis and Methods. Dover Publishing. ISBN 0-486-43227-0 .
Jan A. Snyman (2005). Practical Mathematical Optimization: An Introduction to Basic Optimization Theory and Classical and New Gradient-Based Algorithms. Springer Publishing. ISBN 0-387-24348-8
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