沃默斯利數

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沃默斯利數(Womersley number),會用α的符號表示,是生物流體力學生物流體動力學英语biofluid dynamics无量纲量。是表示脈動流英语pulsatile flow頻率以及黏滯效應之間的關係。沃默斯利數得名自約翰·羅納德·沃默斯利英语John R. Womersley(1907–1958),為紀念他在動脈血液流動上的研究,因此命名[1]。在實驗建模時(實驗研究中要比例放大血管系統時),會根據沃默斯利數來維持動態相似性英语dynamic similarity。在確認邊界層厚度,判斷進入效應是否可忽略時,也會用到沃默斯利數。

有些文獻將沃默斯利數的平方稱為斯托克斯數(Stokes number,[2],紀念乔治·斯托克斯斯托克第二問題英语Stokes second problem上的先驅貢獻。

推導

沃默斯利數(常用 來表示)定義如下

 

其中L是適當的長度尺度英语length scale(例如管路的直徑)、ω是振動的角频率ν, ρ, μ分別是流體的黏度、密度及動黏度[3]。沃默斯利數一般會寫成以下沒有幂次的式子

 

在心血管系統中,脈動頻率會隨血管距脈動源(心臟)的距離而減少。不過脈動頻率的變化在一個數量級(OoM)以內。在心血管系統中,沃默斯利數受脈動頻率的影響不大。

特徵長度(在血管系統中是血管直徑)是系統的重要特徵,也是決定沃默斯利數的重要因素。血管系統中,特徵長度的變化會到達三個數量級,因此對沃默斯利數的影響會比脈動頻率要大。利用頻率、秥黏度及密度的標準值,可以估計人類血管的沃默斯利數:

 

以下是人類不同血管內的沃默斯利數:

血管 直徑(公尺)  
大動脈 0.025 13.83
動脈 0.004 2.21
小動脈 3⋅10^-5 0.0166
微血管 8⋅10^-6 4.43⋅10^-3
小靜脈 2⋅10-5 0.011
靜脈 0.005 2.77
大靜脈 0.03 16.6

沃默斯利數也可以用無因次的雷诺数(Re)及斯特劳哈尔数(St)表示:

 

沃默斯利數出現在脈動流的線性化纳维-斯托克斯方程(假定是不可壓縮的層流)方程的解裡。沃默斯利數表示瞬間或是振盪慣性力和剪力之間的比例。若 較小(1或是更小的值),表示脈動頻率很低,在每一個週期中,都有足夠時間讓管路中的速度分佈發展成拋物線分佈,流和壓力梯度幾乎是同相位,因此可以配合瞬間壓力梯度,用泊肃叶定律來近似。若 較大(10或是更大),表示脈動頻率很大,速度分布會比較平,類似管塞的外形,而平均流會落後壓力梯度約90度。沃默斯利數和雷諾數決定了動態相似性[4]

邊界層厚度 和瞬間加速度有關。和沃默斯利數成反比[5]

 

其中L為特徵長度。

生物流體力學

考慮一個許多管路組成的網路系統,其中從大管徑的管路,漸漸變成小管徑的管路(例如血管系統),在管路系統中的頻率、密度及黏度多半都是定值,而管路的管徑會隨位置而不同。在大血管內的沃默斯利數數值較大,隨著血管分支,漸漸變細,沃默斯利數會變小,而且會變的非常小。在終末動脈(terminal arteries)處的沃默斯利數接近1,在小動脈、微血管及小靜脈的沃默斯利數小於1。這區域比較不受慣性力的影響,流動是由黏性應力以及壓力梯度所控制。這稱為微循环[5]

以下是犬科動物在心率2 Hz時,各部位的沃默斯利數[5]

  • 升主動脈 — 13.2
  • 降主動脈 — 11.5
  • 腹主動脈 — 8
  • 股動脈 — 3.5
  • 頸動脈 — 4.4
  • 小動脈 —0.04
  • 微血管 — 0.005
  • 小靜脈 — 0.035
  • 下腔靜脈 — 8.8
  • 主肺動脈 — 15

有研究者提出普遍性的生物比例律(描述代謝率、壽命、長度和體重的幂次律關係)是為了讓需要的能量最小化的結果,包括血管的分形結構,以及血液從大血管到小血管的沃默斯利數變小都是這類的例子[6]

參考資料

  1. ^ Womersley, J.R. Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known. J. Physiol. March 1955, 127 (3): 553–563. PMC 1365740 . PMID 14368548. doi:10.1113/jphysiol.1955.sp005276. 
  2. ^ Pijush K. Kundu; Ira M. Cohen. Fluid Mechanics. Academic Press. 2010-01-20: 782–. ISBN 978-0-12-381400-5. 
  3. ^ Fung, Y. C. Biomechanics - Motion, flow, stress and growth. New York (USA): Springer-Verlag. 1990: 569. ISBN 9780387971247. 
  4. ^ Nichols, W. W., O'Rourke, M. F. McDonald's Blood Flow in Arteries 5th. London (England): Hodder-Arnold. 2005. ISBN 978-0-340-80941-9. 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 Fung, Y.C. Biomechanics Circulation. Springer Verlag. 1996: 571. ISBN 9780387943848. 
  6. ^ West GB, Brown JH, Enquist BJ. A general model for the origin of allometric scaling laws in biology. Science. 1997-04-04, 276 (5309): 122–6. PMID 9082983. doi:10.1126/science.276.5309.122.