法諾不等式

法諾不等式（Fano's inequality）也稱為法諾引理（Fano lemma）是信息论中的一個定理，說明噪音信道中的平均信息损失和错误分类概率之間的關係。法諾不等式是羅伯特·法諾是1950年代於麻省理工学院教授博士讨论班的时候推導的，後來放在1961年編寫的教科書中。

法諾不等式在信息论中，提供了解码器错误概率的下界。在统计学中，提供了密度估计时极小化极大风险的下界。

用符号 $H(\cdot )$表示熵， $H(X|Y)$ 表示随机变量X与Y之间的条件熵，${\tilde {X}}$表示对于X的分类，e表示分类错误的事件（$e=\{X\neq {\tilde {X}}\}$），法诺不等式是说

$H(X|Y)\leq H(e)+P(e)\log(|{\text{supp}}(X)|-1)$

这里 ${\text{supp}}(X)$ 是X可能取值（有限个）的集合。

參考資料

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• R. Fano, Fano inequality （页面存档备份，存于互联网档案馆） Scholarpedia, 2008.
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