愛因斯坦-嘉當理論(英語:Einstein-Cartan theory)是理論物理學中將廣義相對論延伸以正確處理自旋角動量。此理論以物理學家阿爾伯特·愛因斯坦以及埃利·嘉當(Élie Cartan)為名。
作為古典物理中的主要理論,廣義相對論卻有一個缺點:其無法描述「自旋軌道耦合」(spin-orbit coupling),亦即內稟角動量(intrinsic angular momentum)(自旋)與軌道角動量(orbital angular momentum)間的交換。存在有定量的理論證明,其顯示:當物體具有自旋性質時,廣義相對論必須要擴充成愛因斯坦-嘉當理論。
實驗上的效應由於太小,目前尚無法觀測得到。
歷史
該理論最早由埃利·嘉當(Élie Cartan)於 1922 年提出,並在隨後的幾年中得到了闡述。阿爾伯特愛因斯坦於 1928 年開始加入該理論,當時他試圖將撓率與電磁場張量匹配作為統一場論的一部分,但沒有成功。這一思路引導他得出了相關但不同的遠程並行理論。
Dennis Sciama和Tom Kibble在20世紀60年代獨立地重新審視了該理論,並於1976年發表了一篇重要評論。
愛因斯坦-嘉當理論在歷史上一直被無扭轉理論和布蘭斯-迪克理論等其他替代理論所掩蓋,因為扭轉似乎以犧牲方程式的易處理性為代價,幾乎沒有增加預測的好處。由於愛因斯坦-嘉當理論是純粹經典的,它也沒有完全解決量子重力問題。在愛因斯坦-嘉當理論中,狄拉克方程式變得非線性。最近,人們對愛因斯坦-嘉當理論的興趣已經轉向宇宙學意義,最重要的是,避免了宇宙開始時的引力奇點。該理論被認為是可行的,並且仍然是物理學界的活躍話題。
該理論間接影響了圈量子重力(並且似乎也影響了扭量理論)。
動機
廣義相對論無法描述自旋軌道耦合的理由根源於黎曼幾何,而廣義相對論是建構於其上。在黎曼幾何中,里奇曲率張量(Ricci curvature tensor) 必須是a與b對稱的(亦即, )。因此愛因斯坦曲率張量(Einstein curvature tensor) 定義為
-
也必須是對稱的。在廣義相對論中,愛因斯坦曲率張量為局域重力建構了模型,且其(透過重力常數的聯繫)等同於應力-能量張量或能量-動量張量 (此處我們將能量-動量張量表示為P,是因為廣義相對論中常用來表示能量-動量張量的T在愛因斯坦-嘉當理論留給仿射扭率(affine torsion)。)愛因斯坦曲率張量的對稱性強迫動量張量必須是對稱的。然而,當自旋與軌道角動量進行交換時,根據角動量守恆的廣義式,則知動量張量為不對稱的。
- 自旋流(spin current)之散度——
細節請參考自旋張量(spin tensor)條目。
因此廣義相對論無法適當地為自旋軌道耦合建構模型。
於1922年,埃利·嘉當提出猜想認為廣義相對論應該被延伸成包括仿射扭率(affine torsion),其允許里奇張量可以是不對稱的。雖然自旋-軌道耦合是重力物理學中相對次要的現象,愛因斯坦–嘉當理論則相當重要,因為
- (1) 其顯示出仿射理論,而非度規理論,對於重力能提供更好的描述;
- (2) 其解釋仿射扭率的意義,在一些量子重力理論中自然出現;
- (3) 其將自旋詮釋為仿射扭率,在幾何意義上是時空介質(spacetime medium)之位錯場(field of dislocations)的一項連續近似。
將黎曼幾何擴充以包含了仿射扭率則稱為黎曼-嘉當幾何(Riemann–Cartan geometry)。
幾何與表示式
愛因斯坦-嘉當引力理论简介
用标架场重写愛因斯坦引力理论
用标架场 代替度规场 ,我们可以得到用标架场 (仅考虑内禀坐标系变换是整体Lorentz变换)表示的两种等价形式的推广的爱因斯坦引力场运动方程为:
- (1)引力场运动方程第一形式:
- (2)引力场运动方程第二形式:
其中:
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当 时,由引力场运动方程的第二形式得到爱因斯坦引力场运动方程:
愛因斯坦引力理论与狄拉克电子理论之间的矛盾
考虑电子与引力的作用时,我们需要引入标架仿射联络 。在黎曼时空中,存在关系式: ,标架场与标架仿射联络不独立。
因此,黎曼时空中的电子场、电磁场及引力场的运动才方程为:
(1)电子场运动方程:
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(2)电磁场运动方程:
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(3)引力场运动方程:
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根据电子场运动方程得到能量-动量流运动方程为:
-
根据引力场运动方程得到能量-动量流运动方程为:
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上述结果表明,从电子场运动方程得到的能量-动量流运动方程与从引力场运动方程得到的能量-动量流运动方程是不相容的。
有挠时空引力理论(愛因斯坦-嘉當理论)
在有挠时空中,标架场 与标架仿射联络 是独立的,标架场 描述时空的弯曲,标架仿射联络 描述时空的扭曲,并且有:
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有挠时空中的引力场推广为引力-自旋场,因此简化形式的愛因斯坦-嘉當引力-自旋场的运动方程:
(1)电子场运动方程:
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(2)电磁场运动方程:
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(3)自旋场运动方程:
-
(4)引力场运动方程:
a. 第一形式:
-
b. 第二形式:
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可以证明上述运动方程是相容的,因此有挠时空的愛因斯坦-嘉當引力-自旋场理论消除了爱因斯坦引力理论与狄拉克电子理论之间的矛盾。
应用
- 解释宇宙加速膨胀
- 解释先锋异常
- 解释星系转动曲线
- 预言带电物体周围的引力异常
- 预言日月食的引力异常
參見
参考文献