福特-富尔克森算法

福特-富尔克森方法（英語：Ford–Fulkerson method），又稱福特-富尔克森算法（Ford–Fulkerson algorithm），是一类计算网络流的最大流的贪心算法。之所以称之为“方法”而不是“算法”，是因为它寻找增广路径的方式并不是完全确定的，而是有几种不同时间复杂度的实现方式。它在1956年由小萊斯特·倫道夫·福特及德爾伯特·雷·富爾克森发表。“福特-富尔克森”这个名词通常也指代埃德蒙兹-卡普算法，这是一个特殊的福特-富尔克森算法实现。

算法的思想如下：只要有一条从源点（开始节点）到汇点（结束节点）的路径，在路径的所有边上都有可用容量，就沿着这条路径发送一个流，流量由路径上的最小容量限制。 然后再找到另一条路径，一直到网络中不存在这种路径为止。 一条有可用容量的路径被称为一条增广路径。

算法

设$G(V,E)$为一个图，并且为每条从$u$到$v$的边$(u,v)$设置一个最大流量$c(u,v)$，并且初始化当前流量$f(u,v)=0$。下面是该算法每一步的实现：

容量限制:	$\forall (u,v)\in E,f(u,v)\leq c(u,v)$	每条边上的流都不能超出边的最大流量。
反向对称:	$\forall (u,v)\in E,f(u,v)=-f(v,u)$	从$u$到$v$的流量一定是从$v$到$u$的流量的相反数（见样例）。
流量守恒:	$\forall u\in V:u\neq s,u\neq t\Rightarrow \sum _{w\in V}f(u,w)=0$	除非$u$是源点$s$或汇点$t$，一个节点的净流量为零。
f的值:	$\sum _{(s,u)\in E}f(s,u)=\sum _{(v,t)\in E}f(v,t)$	从源点$s$流出的流量一定等于汇点$t$接收的流量。

这意味着每轮计算之后通过网络的都是一个流。我们定义残留网络 $G_{f}(V,E_{f})$是一个网络的剩余流量$c_{f}(u,v)=c(u,v)-f(u,v)$。注意残留网络可以设置从$v$到$u$的流量，即使在原先的网络中不允许这种情况产生：如果 $c(v,u)=0$ 但 $f(u,v)>0$，那么$c_{f}(v,u)=c(v,u)-f(v,u)=f(u,v)>0$：也即，从$u$到$v$的流量给从$v$到$u$的流量提供了额外的剩余量。

伪代码

算法 福特-富尔克森

输入 给定一张边的容量为$c$的图$G=(V,E)$，源点$s$以及汇点$t$。

输出 在网络$G$中，从$s$到$t$的最大流$f$。

1. 初始化网络流量$f\leftarrow 0$、残留网络$G_{f}\leftarrow G$。对于图的每一条边$(u,v)$，初始化流量$f(u,v)\leftarrow 0$。
2. 只要$G_{f}$中还存在一条从$s$到$t$的路径$p$，使对于每一条边$(u,v)\in p$，都有$c_{f}(u,v)>0$：
   1. 设置路径$p$本次应发送的流量为路径最小剩余流量：$c_{f}(p)\leftarrow \min _{(u,v)\in p}c_{f}(u,v)$。
   2. 更新网络流量$f\leftarrow f+c_{f}(p)$。
   3. 对于每一条边$(u,v)\in p$，更新$G_{f}$的剩余流量：
      1. $f(u,v)\leftarrow f(u,v)+c_{f}(p)$ （在路径中“发送”流）
      2. $f(v,u)\leftarrow f(v,u)-c_{f}(p)$ （这个流在之后可以被“发送”回来）

步骤2中的路径$p$可以用广度优先搜索或深度优先搜索在$G_{f}(V,E_{f})$中找到。如果使用了广度优先搜索，这个算法就是Edmonds–Karp算法。

当步骤2中找不到可行路径时，$s$就无法在残留网络中到达$t$。设$S$是在残留网络中$s$可以到达的节点的集合，然后从$S$到$V$的其余部分的网络一方面等于我们找到的从$s$到$t$的所有流的总流量，另一方面所有这样的流量组成了一个上限。这说明我们找到的流是最大的。参见最大流最小割定理。

如果图$G(V,E)$有多个源点和汇点，可以按如下方法处理：设$T=\{t|t{\text{为 目 标 点 }}\}$，$S=\{s|s{\text{为 源 点 }}\}$。 添加一个新源点$s^{*}$与所有源点有一条边$(s^{*},s)$相连，容量$c(s^{*},s)=d_{s}\;(d_{s}=\sum _{(s,u)\in E}c(s,u))$。添加一个新汇点$t^{*}$与所有汇点$(t,t^{*})$ 有一条边相连，容量$c(t,t^{*})=d_{t}\;(d_{t}=\sum _{(v,t)\in E}c(v,t))$。然后执行福特-富尔克森算法。

同样的，如果节点$u$有通过限制$d_{u}$，可将这个节点用两个节点$u_{in},u_{out}$替换，用一条边$(u_{in},u_{out})$相连，容量为$c(u_{in},u_{out})=d_{u}$。然后执行福特-富尔克森算法。

复杂度

算法通过添加找到的增广路径的流量增加总流量，当无法找到增广路径时，总流量就达到了最大。当流量是整数时，福特-富尔克森算法的运行时间为$O(Ef)$（参见大O符号）, $E$图中的边数，$f$为最大流。 这是因为一条增广路径可以在$O(E)$的时间复杂度内找到，每轮算法执行后流量的增长至少为$1$。但是在极端情况下，算法有可能永远不会停止。

福特-富尔克森算法的一个特例是埃德蒙兹-卡普算法，时间复杂度为$O(VE^{2})$。

样例

下面的样例演示了福特-富尔克森在一张有4个节点，源点为$A$，汇点为$D$的图中的第一轮计算。 这个例子显示了算法在最坏情况下的行为。在每一轮算法中，只有$1$的流量被发送至网络中。如果算法改用宽度优先搜索，那么只需要两轮计算。

路径	容量	网络
原流
$A,B,C,D$	${\begin{aligned}&\min(c_{f}(A,B),c_{f}(B,C),c_{f}(C,D))\\=&\min(c(A,B)-f(A,B),c(B,C)-f(B,C),c(C,D)-f(C,D))\\=&\min(1000-0,1-0,1000-0)=1\end{aligned}}$
$A,C,B,D$	${\begin{aligned}&\min(c_{f}(A,C),c_{f}(C,B),c_{f}(B,D))\\=&\min(c(A,C)-f(A,C),c(C,B)-f(C,B),c(B,D)-f(B,D))\\=&\min(1000-0,0-(-1),1000-0)=1\end{aligned}}$
1998轮之后…
最终流

注意当找到路径$A,C,B,D$时，流是如何从$C$发送至$B$的。

无法终止算法的样例

右图所示的网络中源点为$s$，汇点为$t$边$e_{1}$、$e_{2}$、$e_{3}$的容量为$1$, $r=({\sqrt {5}}-1)/2$和$1$，使$r^{2}=1-r$。其它所有边的容量$M\geq 2$。 使用福特-富尔克森算法可找到三条增广路径，分别为$p_{1}=\{s,v_{4},v_{3},v_{2},v_{1},t\}$、$p_{2}=\{s,v_{2},v_{3},v_{4},t\}$、$p_{3}=\{s,v_{1},v_{2},v_{3},t\}$.

步骤	增广路径	发送流	剩余容量
			$e_{1}$	$e_{2}$	$e_{3}$
0			$r^{0}=1$	$r$	$1$
1	$\{s,v_{2},v_{3},t\}$	$1$	$r^{0}$	$r^{1}$	$0$
2	$p_{1}$	$r^{1}$	$r^{2}$	$0$	$r^{1}$
3	$p_{2}$	$r^{1}$	$r^{2}$	$r^{1}$	$0$
4	$p_{1}$	$r^{2}$	$0$	$r^{3}$	$r^{2}$
5	$p_{3}$	$r^{2}$	$r^{2}$	$r^{3}$	$0$

注意在步骤1和步骤5之后,边$e_{1}$、$e_{2}$、$e_{3}$的残留容量都可以表示为$r^{n}$、$r^{n+1}$或$0$，同时，对于一些特殊的$n\in \mathbb {N}$这意味着算法可以通过$p_{1}$、$p_{2}$、$p_{1}$与 $p_{3}$无限增广，并且残留容量总处于一个循环。在步骤5之后网络的流为$1+2(r^{1}+r^{2})$，如果继续用以上的算法增广，总的流将向$\textstyle 1+2\sum _{i=1}^{\infty }r^{i}=3+2r$趋近，但最大流为$2M+1$。在这个样例中，算法将永远不会停止，且结果也不会向实际的最大流趋近。

Python源码

class Edge(object):
    def __init__(self, u, v, w):
        self.source = u
        self.sink = v  
        self.capacity = w
    def __repr__(self):
        return "%s->%s:%s" % (self.source, self.sink, self.capacity)

class FlowNetwork(object):
    def __init__(self):
        self.adj = {}
        self.flow = {}
 
    def add_vertex(self, vertex):
        self.adj[vertex] = []
 
    def get_edges(self, v):
        return self.adj[v]
 
    def add_edge(self, u, v, w=0):
        if u == v:
            raise ValueError("u == v")
        edge = Edge(u,v,w)
        redge = Edge(v,u,0)
        edge.redge = redge
        redge.redge = edge
        self.adj[u].append(edge)
        self.adj[v].append(redge)
        self.flow[edge] = 0
        self.flow[redge] = 0
 
    def find_path(self, source, sink, path):
        if source == sink:
            return path
        for edge in self.get_edges(source):
            residual = edge.capacity - self.flow[edge]
            if residual > 0 and edge not in path:
                result = self.find_path( edge.sink, sink, path + [edge]) 
                if result != None:
                    return result
 
    def max_flow(self, source, sink):
        path = self.find_path(source, sink, [])
        while path != None:
            residuals = [edge.capacity - self.flow[edge] for edge in path]
            flow = min(residuals)
            for edge in path:
                self.flow[edge] += flow
                self.flow[edge.redge] -= flow
            path = self.find_path(source, sink, [])
        return sum(self.flow[edge] for edge in self.get_edges(source))

使用样例

>>> g = FlowNetwork()
>>> [g.add_vertex(v) for v in "sopqrt"]
[None, None, None, None, None, None]
>>>
>>> g.add_edge('s','o',3)
>>> g.add_edge('s','p',3)
>>> g.add_edge('o','p',2)
>>> g.add_edge('o','q',3)
>>> g.add_edge('p','r',2)
>>> g.add_edge('r','t',3)
>>> g.add_edge('q','r',4)
>>> g.add_edge('q','t',2)
>>> print (g.max_flow('s','t'))
5

应用

二分图的最大匹配

最大不相交路径

参考文献

• Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford. Section 26.2: The Ford–Fulkerson method. Introduction to Algorithms Second. MIT Press and McGraw–Hill. 2001: 651–664. ISBN 0-262-03293-7. 
• George T. Heineman; Gary Pollice; Stanley Selkow. Chapter 8:Network Flow Algorithms. Algorithms in a Nutshell. Oreilly Media. 2008: 226–250. ISBN 978-0-596-51624-6. 
• Jon Kleinberg; Éva Tardos. Chapter 7:Extensions to the Maximum-Flow Problem. Algorithm Design. Pearson Education. 2006: 378–384. ISBN 0-321-29535-8.