拉西奥娃-西科尔斯基引理

在公理集合論中，拉西奧娃-西科爾斯基引理（Rasiowa–Sikorski lemma）是力迫使用的技巧中最基本的事實之一，該引理以海倫娜·拉西奧娃和羅曼·西科爾斯基為名。

引理內容

在力迫的領域中，若說偏序集$\left(P,\leq \right)$的子集$E$在$P$中稠密，就表示對於任意的$p\in P$而言，有$e\in E$使得$e\leq p$；而若$D$是$P$的稠密子集的集族，那麼在滿足以下條件的狀況下，就稱$P$中的濾子$F$是$D$－一般的：

$F\cap E\neq \emptyset ,\forall E\in D$

再有這些預備知識，就可以來描述拉西奧娃－西科爾斯基引理：

設$\left(P,\leq \right)$是一個偏序集且$p\in P$，若$D$是$P$的稠密子集的可數集族，那就存在一個$P$中的$D$－一般的濾子$F$，使得$p\in F$

證明

此引理證明如下：

由於$D$可數之故，因此可以將$P$的子集給編號為$D_{1},D_{2},D_{3},...$等等，由假設可知，存在一個$p\in P$，然後由稠密性可知，存在一個$p_{1}\leq p$且$p_{1}\in D_{1}$，如是反覆，可得$...\leq p_{2}\leq p_{1}\leq p$，其中$p_{i}\in D_{i}$，因此$G=\left\{q\in p:\exists i,q\geq p_{i}\right\}$是$D$－一般的濾子。

可以認為拉西奧娃－西科爾斯基引理是馬丁公理較弱的版本，或說拉西奧娃-西科爾斯基引理等價於$\operatorname {MA} (\aleph _{0})$。

例子

• 對於$\left(P,\leq \right)=(func(X,Y),\supseteq )$，也就是從$X$到$Y$的、由包含關係定義的反向偏函数的偏序而言，若定義$D_{x}=\left\{s\in P:x\in dom(s)\right\}$，那在這種狀況下，若$X$可數，則拉西奧娃－西科爾斯基引理可得一個$\left\{D_{x}:x\in X\right\}$－一般的濾子$F$及一個函數$F:X\rightarrow Y$
• 假若我們使用處理$D$－一般的濾子的符號，那麼$\left\{H\cup G_{0}:P_{ij}P_{t}\right\}$可得一個$H$－一般濾子
• 若$D$不可數，但其基數嚴格小於$2^{\aleph _{0}}$且其偏序集滿足可數鏈條件，那我們可使用馬丁公理。

參見

• 一般濾子
• 馬丁公理

參考資料

• Ciesielski, Krzysztof. Set theory for the working mathematician. London Mathematical Society Student Texts 39. Cambridge: Cambridge University Press. 1997. ISBN 0-521-59441-3. Zbl 0938.03067. 
• Kunen, Kenneth. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics 102. North-Holland. 1980. ISBN 0-444-85401-0. Zbl 0443.03021. 

外部連結

• Tim Chow's新聞群的文章Forcing for dummies （页面存档备份，存于互联网档案馆）對力迫的概念與想法做出了很好的介紹，該文章介紹了主要的想法且跳過了技術性的細節。