費馬點

在几何学中，费马点是位于三角形内的一个点。给定一个三角形 $△ABC$ 的话，从这个三角形的费马点 $P$ 到三角形的三个顶点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的距离之和

PA+PB+PC

比从其它点算起的都要小。这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。

费马点问题最早是由法国数学家皮埃爾·德·費馬在一封写给意大利数学家埃萬傑利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。^[1]托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。

源起：费马的问题

1638年，勒内·笛卡儿邀请费马思考关于到四个顶点距离为定值的函数的问题。这大概也是1643年，费马写信向埃萬傑利斯塔·托里拆利询问关于费马点的问题的原因^[1]。费马的问题是这样的：

平面上有三个不在同一条直线上的点

A, B, C

，对平面上的另一个点

P

，考虑点

P

到原来的三个点的距离之和：

PA + PB + PC

。是否有这样一个点

P 0

，使得它到点

A, B, C

的距离之和

P 0 A + P 0 B + P 0 C

比任何其它的

PA + PB + PC

都要小？

这个问题首先被托里拆利解决，但他生前并没有发表。托里拆利的学生温琴佐·维维亚尼在1659年将他的遗作整理發表，其中包括了费马点问题的证明^[2]^:124。他的解法中用到了椭圆的焦点的性质。^[3]^[4]

费马-托里拆利点

托里拆利的解法中对这个点的描述是：对于每一个角都小于120°的三角形 $ABC$ 的每一条边为底边，向外作正三角形，然后作这三个正三角形的外接圆。托里拆利指出这三个外接圆会有一个共同的交点，而这个交点就是所要求的点。这个点和当时已知的三角形特殊点都不一样。这个点因此也叫做托里拆利点。

1647年，博納文圖拉·卡瓦列里在他的著作《几何学题集》（Exerciones Geometricae）中也探讨了这个问题。他发现，将作正三角形时作出的三个点与对面的顶点连接，可以得出三条线段。这三条线段交于托里拆利点，而且托里拆利点对每条边张的角都是120°。^[5]

作法及证明

下面是三角形的费马点的作法：

当有一个内角不小于120°时，费马点为此角对应顶点。
当三角形的内角都小于120°时
- 以三角形的每一边为底边，向外做三個正三角形 $△ABC'$ ， $△BCA'$ ， $△CAB'$ 。
- 連接 $CC'$ 、 $BB'$ 、 $AA'$ ，则三条线段的交点就是所求的点。^[6]

几何证明

三角形的内角都小于120°的情况：
首先证明 $CC'$ 、 $BB'$ 、 $AA'$ 三条线交于一点。

设 $P$ 为线段 $CC'$ 和 $BB'$ 的交点。注意到三角形 $C'AC$ 和三角形 $BAB'$ 是全等的，三角形 $C'AC$ 可以看做是三角形 $B'AB$ 以 $A$ 点为轴心顺时针旋转60度得到的，所以角 $\angle \mathrm {C'PB}$ 等于60度，和 $\angle \mathrm {C'AB}$ 相等。因此， $A$ 、 $B$ 、 $C'$ 、 $P$ 四点共圆。同样地，可以证明 $A$ 、 $B'$ 、 $C$ 、 $P$ 四点共圆。于是：

\angle \mathrm {APB} =\angle \mathrm {APC} =120^{\circ }

从而 $\angle \mathrm {CPB} =120^{\circ }$ 。于是可以得出： $A'$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $P$ 四点共圆，即

\angle \mathrm {A'PB} =\angle \mathrm {A'CB} =60^{\circ }

\angle \mathrm {APA'} =\angle \mathrm {APB} +\angle \mathrm {A'PB} =120^{\circ }+60^{\circ }

$A$ 、 $A'$ 、 $P$ 三点共线。也就是说 $CC'$ 、 $BB'$ 、 $AA'$ 三条线交于一点。^[6]^[7]^:90

接下来证明交点 $P$ 就是到三个顶点距离之和最小的点。

在线段 $AA'$ 上选择一点 $Q$ ，使得 $QP$ = $PC$ 。由于 $\angle \mathrm {QPC} =60^{\circ }$ ，所以等腰三角形 $PQC$ 是正三角形。于是 $\angle \mathrm {PCB} =\angle \mathrm {QCA'}$ 。同时 $QC$ = $PC$ 、 $BC$ = $A'C$ ，于是可以得出三角形 $BPC$ 和三角形 $A'QC$ 是全等三角形。所以 $QA'$ = $PB$ 。综上可得出：

PA + PB + PC

=

AA'

对于平面上另外一个点 $P'$ ，以 $P'C$ 为底边，向下作正三角形 $P'Q'C$ 。运用类似以上的推理可以证明三角形 $BP'C$ 和三角形 $A'Q'C$ 是全等三角形。因此也有：

P'A + P'B + P'C

=

AP' + P'Q' + Q'A'

平面上两点之间以直线长度最短。因此

P'A + P'B + P'C

=

AP' + P'Q' + Q'A' \geq AA'

=

PA + PB + PC.

也就是说，点 $P$ 是平面上到点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 距离的和最短的一点。^[6]^[2]^:124-125

最后证明唯一性。

如果有另外一点 $P'$ 使得 $P'A + P'B + P'C$ = $PA + PB + PC$ ，那么

AA'

=

AP' + P'Q' + Q'A'

因此点 $P'$ 和 $Q'$ 也在线段 $AA'$ 之上。依照 $P'$ 和 $Q'$ 的定义，可以推出

\angle \mathrm {AP'B} =\angle \mathrm {AP'C} =120^{\circ }

因此 $P'$ 也是 $CC'$ 、 $BB'$ 、 $AA'$ 三条线的交点。因此 $P'$ 点也就是 $P$ 点。因此点 $P$ 是唯一的。^[7]^:92

有一内角大于120°的情况。

如右图， $\angle \mathrm {BAC}$ 大于120°， $P$ 为三角形内一点。以 $BA$ 为底边，向上作正三角形 $BAF$ ；以 $PA$ 为底边，向上作正三角形 $PAQ$ 。于是三角形 $AQF$ 和三角形 $APB$ 是全等三角形。 $FQ$ = $PB$ 。所以

PA + PB + PC

=

FQ + QP + PC.

延长 $FA$ 交 $QC$ 于 $D$ 点，则

FQ + QP + PC > FQ + QC

=

FQ + QD + DC > FD + DC

=

FA + AD + DC > FA + AC

=

AB + AC.

即

PA + PB + PC > AB + AC.

所以 $A$ 点到三顶点的距离比三角形内任意一点到三顶点的距离都小，即 $A$ 点为费马点。

物理学解释

费马的问题也可以用物理的方法来解决。将平面上所给的三个给定点钻出洞来，再设有三条绳子系在一起，每条绳子各穿过一个洞口，而绳子的末端都绑有一个固定重量 $m$ 的重物。假设摩擦力可以忽略，那么绳子会被拉紧，而绳结最后会停在平面一点的上方。可以证明，这个点就是三个给定点所对应的费马点。首先，由于绳长是固定的，而绳子竖直下垂的部分越长，重物的位置也就越低，势能越低。在平衡态的时候，系统的势能达到最小值，也就是绳子竖直下垂的部分的长度达到最大值，因此水平的部分的长度达到最小值。而绳子的水平部分的长度就是 $PA + PB + PC$ ，因此这时 $PA + PB + PC$ 最小，也就是达到费马点。

在系统处于平衡态时，由力学原理可知绳子两两之间张成的角度 $\angle \mathrm {APB}$ 、 $\angle \mathrm {BPC}$ 和 $\angle \mathrm {APC}$ 之间满足合力公式：

{\frac {\sin(\angle \mathrm {APB} )}{\mathbf {m} g}}={\frac {\sin(\angle \mathrm {BPC} )}{\mathbf {m} g}}={\frac {\sin(\angle \mathrm {APC} )}{\mathbf {m} g}}

也就是说这三个角相等，即都是120°。^[6]^[8]^:197-198

推广

费马点的定义可以推广到更多点的情况。设平面上有 $m$ 个点： $P 1, P 2, ... , P m$ ，又有正实数： $λ 1, λ 2, ... , λ m$ 。费马问题可以推广为：寻找一个点 $X$ ，使得它到这 $m$ 个点的距离在加权后之和:

\lambda _{1}\cdot XP_{1}+\lambda _{2}\cdot XP_{2}+\cdots +\lambda _{m}\cdot XP_{m}

是最小的。

高维的情况

费马点问题还可以推广到高维空间中。比如说在 $n$ 维实向量空间 $\mathbb {R} ^{n}$ 中，给定 $m$ 个点： $p 1, p 2, ... , p m$ ，对空间中另一点 $x$ ，设它到前述 $m$ 个点的欧几里德距离之和为函数 $Dist(x)$ ：

\operatorname {Dist} (x)=\sum _{i=1}^{m}\|x-p_{i}\|

则费马点问题就变成寻找使得 $Dist(x)$ 最小的一点 $p min \in$ $\mathbb {R} ^{n}$ ^[9]^:236-237。与平面费马点问题相似，高维情况下的费马点问题也有由林德罗夫和斯图姆证明的类似结论^[9]^:237：

使得 $Dist(x)$ 最小点 $p min$ 并且是唯一的。
如果从任何一点 $p i$ 到剩下的 $m-1$ 点方向上的 $m-1$ 个单位向量的向量和长度都大于1，那么：
- $p min$ 不是 $p 1, p 2, ... , p m$ 中任何一点，
- 从 $p min$ 到 $p 1, p 2, ... , p m$ 方向上的 $m$ 个单位向量的向量和是0。
如果从某一点 $p i$ 到剩下的 $m-1$ 点方向上的 $m-1$ 个单位向量的向量和长度小于等于1，那么 $p min$ 就是这个点。

对于加权的费马点问题，也有类似的结论，只需将上述结论中的向量和替换为加权向量和，条件中的1也要替换为对应点的权重^[9]^:249-250。

参见

参考来源

^ ^1.0 ^1.1 P. de Fermat, "Œvres" , I , H. Tannery (ed.), Paris (1891) (Supplement: Paris 1922)
^ ^2.0 ^2.1 O. Bottema. Selected Topics in Elementary Geometry. Springer，第2版，插图版. 2008. ISBN 9780387781310.
^ E. Torricelli, "Opere" , I/2 , Faënza (1919) pp. 90–97
^ E. Torricelli, "Opere" , III , Faënza (1919) pp. 426–431
^ Clark Kimberling. Shortest connectivity: an introduction with applications in phylogeny. Springer. 2004. ISBN 978-0387235387.
^ ^6.0 ^6.1 ^6.2 ^6.3 張雄. 《費馬一一斯坦勒爾問題與平衡態公理》 (PDF). 《数學傳播》: 75–79. [2010-07-25]. （原始内容 (PDF)存档于2012-11-19）.
^ ^7.0 ^7.1 Radmila Bulajich Manfrino, José Antonio Gómez Ortega, Rogelio Valdez Delgado. Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach. Springer, 插图版. 2009. ISBN 9783034600491.
^ Alexander Ostermann, Gerhard Wanner. Geometry by Its History. Springer. 2012. ISBN 9783642291630.
^ ^9.0 ^9.1 ^9.2 Vladimir Boltyanski, Horst Martini, V. Soltan, V. Valerii Petrovich Soltan. Geometric Methods and Optimization Problems. Springer, 插图版. 1999. ISBN 9780792354543.

Stefan Hildebrandt,Anthony Tromba. The parsimonious universe: shape and form in the natural world. Springer. 1996. ISBN 978-0387979915.
一个实际的例子，费马点. [2013-03-19]. （原始内容存档于2020-01-30）（英语）.

[fermat-1] 1.0 ^1.1 P. de Fermat, "Œvres" , I , H. Tannery (ed.), Paris (1891) (Supplement: Paris 1922)

[ob-2] 2.0 ^2.1 O. Bottema. Selected Topics in Elementary Geometry. Springer，第2版，插图版. 2008. ISBN 9780387781310.

[3] E. Torricelli, "Opere" , I/2 , Faënza (1919) pp. 90–97

[4] E. Torricelli, "Opere" , III , Faënza (1919) pp. 426–431

[5] Clark Kimberling. Shortest connectivity: an introduction with applications in phylogeny. Springer. 2004. ISBN 978-0387235387.

[zx-6] 6.0 ^6.1 ^6.2 ^6.3 張雄. 《費馬一一斯坦勒爾問題與平衡態公理》 (PDF). 《数學傳播》: 75–79. [2010-07-25]. （原始内容 (PDF)存档于2012-11-19）.

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[8] Alexander Ostermann, Gerhard Wanner. Geometry by Its History. Springer. 2012. ISBN 9783642291630.

[gm-9] 9.0 ^9.1 ^9.2 Vladimir Boltyanski, Horst Martini, V. Soltan, V. Valerii Petrovich Soltan. Geometric Methods and Optimization Problems. Springer, 插图版. 1999. ISBN 9780792354543.

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