超越三角函數

超越三角函數自然對數的一種延伸,也是歐拉公式的擴充,其中每個超越三角函數都違反原來對三角函數的定義。

超越單位三角函數

李昂哈德·歐拉複數的定義得知:

 

 時,得知:

 
 

再因為

 
=> 
=> 

所以得出下列結論:

 
 

解聯立方程解得

 
 

發現 明顯超越了1,這代表了斜邊比鄰邊還短,違反了當初對實數係的三角函數的定義域,所以這稱為對虛數係的三角函數

超越三角函數

延伸後可得:

 
 

複數悖論與數學單位形成

將超越三角函數以三度空間方式作圖,X軸為自變數,Y軸為變數之實部,Z軸為變數之虛部,可以發現超越三角函數都是以4為一週期的函數圖形,但是最後會發現一件怪異之處

 

這對一般數學是不成立的,但是為何有合理的解釋? 如果說一般數的單位是│µ│(單位向量),歐拉對虛數的冪可見

 此單位是rad‧│µ│,如此2π等同於0的意思,那悖論也就被打破了。