電荷泵鎖相迴路

電荷泵鎖相迴路（Charge-pump phase-locked loop）簡稱CP-PLL，是一種鉴相器適用於方波輸入信號的鎖相迴路。CP-PLL可以快速的鎖定到輸入信號的相位，可以達到很低的穩態相位誤差。

電荷泵鎖相迴路

鉴相器（PFD）

鉴相器動態

鉴相器（PFD）是由參考信號（Ref）以及受控輸出（VCO）信號的下緣所觸發。PFD $i(t)$的輸出信號只有三個狀態：0, $+I_{p}$,和$-I_{p}$。 參考信號的下緣會使PFD切換到較高的狀態，若PFD已經在$+I_{p}$就不會變動。 VCO信號的下緣會使PFD切換到較低的狀態，若PFD已經在$-I_{p}$就不會變動。 若二個信號的下緣同時出現，PFD會切換到0。

CP-PLL的數學模型

第一個二階CP-PLL的數學模型是由佛洛依德·加德納在1980年提出的。M. van Paemel在1994年提出了不考慮VCO過載（overload）的非線性模型，N. Kuznetsov等人在2019年優化該模型。也有學者在推導考慮VCO過載的CP-PLL解析解數學模型。

CP-PLL的數學模型可以針對一些參數進行解析的預估，例如hold-in範圍（在VCO沒有過載的情形下，可能進行鎖相的輸入信號頻率範圍），及捕獲範圍（pull-in range，在CP-PLL任意初始狀態下，CP-PLL最終可以鎖相的輸入信號頻率範圍）。

二階CP-PLL的連續時間線性模型以及加德納的猜想

加德納的分析是以以下的近似為基礎：每個參考信號的周期內，PFD非零的時間區間為

$t_{p}=|\theta _{e}|/\omega _{\rm {ref}},\ \theta _{e}=\theta _{\rm {ref}}-\theta _{\rm {vco}}.$

CP-PLL的PDF平均輸出為

$i_{d}=I_{p}\theta _{e}/2\pi$

對應的傳遞函數為

$I_{d}(s)=I_{p}\theta _{e}(s)/2\pi$

若用濾波器傳遞函數$F(s)=R+{\frac {1}{Cs}}$以及VCO傳遞函數$\theta _{\rm {vco}}(s)=K_{\rm {vco}}I_{d}(s)F(s)/s$，可以得到加德納的二階CP-PLL線性近似平均模型:

${\frac {\theta _{e}(s)}{\theta _{\rm {ref}}(s)}}={\frac {2\pi s}{2\pi s+K_{\rm {vco}}I_{p}\left(R+{\frac {1}{Cs}}\right)}}.$

佛洛依德·加德納在1980年以上述的理解，提出了猜想：「實際電荷泵鎖相迴路的暫態響應，預期會和等效傳統PLL的暫態響應幾乎相同。」（加德納對CP-PLL的猜想）。 依照加德納的結果，也類似Egan在type 2 APLL捕獲範圍的猜想，Amr M. Fahim在其書中猜想：為了要達到無限大的捕獲範圍，CP-PLL的迴路濾波器需要使用主動濾波器（Fahim-Egan在type II CP-PLL捕獲範圍的猜想）。

二階CP-PLL的連續時間非線性模型

為了簡化推導，但不失去通用性，假設VCO和參考信號在其相位為整數時為其下降緣。 令參考信號第一個下降緣的時間為$t=0$。 PFD狀態$i(0)$會依PFD的初始狀態$i(0-)$，VCO的初始相位移$\theta _{vco}(0)$，以及參考信號$\theta _{ref}(0)$的值而不同。

若利用電阻和電容製作純PI（比例積分）的濾波器，其輸入電流$i(t)$和輸出電壓$v_{F}(t)$的關係為

${\begin{aligned}v_{F}(t)=v_{c}(0)+Ri(t)+{\frac {1}{C}}\int \limits _{0}^{t}i(\tau )d\tau \end{aligned}}$

其中$R>0$是電阻，$C>0$是電感。 $v_{c}(t)$是電容器的電壓。 控制信號$v_{F}(t)$會調整VCO頻率：

${\begin{aligned}{\dot {\theta }}_{vco}(t)=\omega _{vco}(t)=\omega _{vco}^{\text{free}}+K_{vco}v_{F}(t),\end{aligned}}$

其中$\omega _{vco}^{\text{free}}$是VCO的自由運行頻率 （也就是$v_{F}(t)\equiv 0$)，$K_{vco}$是VCO增益（靈敏度）、$\theta _{vco}(t)$是VCO相位。 最後，CP-PLL連續時間非線性數學模型如下

${\begin{aligned}{\dot {v}}_{c}(t)={\tfrac {1}{C}}i(t),\quad {\dot {\theta }}_{vco}(t)=\omega _{vco}^{\text{free}}+K_{vco}(Ri(t)+v_{c}(t))\end{aligned}}$

其中有以下的不連續分段常數非線性

$i(t)=i{\big (}i(t-),\theta _{ref}(t),\theta _{vco}(t){\big )}$

初始條件為${\big (}v_{c}(0),\theta _{vco}(0){\big )}$. 此模型是非線性、非自主式、不連續的開關系統。

二階CP-PLL的離散時間非線性模型

在時間區間內的PFD動態

假設參考信號頻率為常數: $\theta _{ref}(t)=\omega _{ref}t={\frac {t}{T_{ref}}},$ 其中$T_{ref}$、$\omega _{ref}$和$\theta _{ref}(t)$是參考資料的週期、頻率和相位。

令$t_{0}=0$， 這表示$t_{0}^{\rm {middle}}$是第一個PFD輸出為0的時間 （若$i(0)=0$，則$t_{0}^{\rm {middle}}=0$） 且$t_{1}$是VCO或參考信號的第一個下降緣。 其且，可以定義對應的遞減數列$\{t_{k}\}$、$\{t_{k}^{\rm {middle}}\}$，其中$k=0,1,2...$。

令$t_{k}<t_{k}^{\rm {middle}}$. 則在$t\in [t_{k},t_{k}^{\rm {middle}})$時，${\text{sign}}(i(t))$是非零的常數（$\pm 1$）。 令$\tau _{k}$為PFD脈波寬度（PFD輸出為非零長度的時間區間）乘以PFD輸出的正負號：

$\tau _{k}=(t_{k}^{\rm {middle}}-t_{k}){\text{sign}}(i(t))$ for $t\in [t_{k},t_{k}^{\rm {middle}})$

$\tau _{k}=0$ for $t_{k}=t_{k}^{\rm {middle}}$

若VCO的下降緣在參考信號的下降緣之前，則$\tau _{k}<0$，反之，可得$\tau _{k}>0$。$\tau _{k}$可以看出二個信號下降緣的先後順序。在$(t_{k}^{\rm {middle}},t_{k+1})$區間內，PFD輸出為零，PFD $i(t)\equiv 0$：

$v_{F}(t)\equiv v_{k}$ for $t\in [t_{k}^{\rm {middle}},t_{k+1})$.

將$(\tau _{k},v_{k})$變成下式的變數變換 $p_{k}={\frac {\tau _{k}}{T_{\rm {ref}}}},u_{k}=T_{\rm {ref}}(\omega _{\rm {vco}}^{\text{free}}+K_{\rm {vco}}v_{k})-1,$ 可以讓參數減至二個： $\alpha =K_{\rm {vco}}I_{p}T_{\rm {ref}}R,\beta ={\frac {K_{\rm {vco}}I_{p}T_{\rm {ref}}^{2}}{2C}}.$

此處$p_{k}$是正規化的相位偏移，$u_{k}+1$是VCO頻率 $\omega _{\rm {vco}}^{\text{free}}+K_{\rm {vco}}v_{k}$相對於參考頻率${\frac {1}{T_{\rm {ref}}}}$的比例。

最後，不考慮VCO過載的二階CP-PLL離散時間模型如下

${\begin{aligned}&u_{k+1}=u_{k}+2\beta p_{k+1},\\&p_{k+1}={\begin{cases}{\frac {-(u_{k}+\alpha +1)+{\sqrt {(u_{k}+\alpha +1)^{2}-4\beta c_{k}}}}{2\beta }},\quad {\text{ for }}p_{k}\geq 0,\quad c_{k}\leq 0,\\{\frac {1}{u_{k}+1}}-1+(p_{k}{\text{ mod }}1),\quad {\text{ for }}p_{k}\geq 0,\quad c_{k}>0,\\l_{k}-1,\quad {\text{ for }}p_{k}<0,\quad l_{k}\leq 1,\\{\frac {-(u_{k}+\alpha +1)+{\sqrt {(u_{k}+\alpha +1)^{2}-4\beta d_{k}}}}{2\beta }},\quad {\text{ for }}p_{k}<0,\quad l_{k}>1,\end{cases}}\end{aligned}}$

其中

${\begin{aligned}c_{k}=(1-(p_{k}{\text{ mod }}1))(u_{k}+1)-1,S_{l_{k}}=-(u_{k}-\alpha +1)p_{k}+\beta p_{k}^{2},l_{k}={\frac {1-(S_{l_{k}}{\text{ mod }}1)}{u_{k}+1}},d_{k}=(S_{l_{k}}{\text{ mod }}1)+u_{k}.\end{aligned}}$

此離散時間模型只在$(u_{k}=0,p_{k}=0)$有一個穩態，可以估計hold-in範圍和捕獲範圍。

若VCO過載，也就是${\dot {\theta }}_{\rm {vco}}(t)$為零， 或者是以下的式子 $(p_{k}>0,u_{k}<2\beta p_{k}-1)$或 $(p_{k}<0,u_{k}<\alpha -1)$, 則需要考慮額外的CP-PLL動態特性。 針對任何參數，只要VCO和參考信號的頻率差夠大，就會使VCO過載。 在實務上，需避免VCO的過載。

高階CP-PLL的非線性模型

高階CP-PLL非線性模型推導和超越方程有關，無法求得解析解，需要用近似的方式計算