在微分几何中,黎曼曲率张量或黎曼張量是表达黎曼流形的曲率的标准方式,更普遍的,它可以表示有仿射联络的流形的曲率,包括无扭率或有撓率的。曲率张量通过列维-奇维塔联络(更一般的,一个仿射联络)
(或者叫协变导数)由下式给出:
![{\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a521909ebf9b30c4cfb21369a3a25d3ed8dc5f7c)
这里
是一个流形切空间的线性变换;它对于每个参数都是线性的。
注意有些作者用相反的符号定义曲率.
如果
与
是坐标向量场则
所以公式简化为
![{\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e62561fbb0cba8fd68c89c87a9da5c624138bbe1)
也就是说曲率张量衡量协变导数的反交换性。
线性变换
也称曲率变换。
對稱性和恆等式
进一步,由上式定义了如下的三重线性映射
-
映射 关于每一个自变量都是 线性的, 故 是 上的 型光滑张量场, 称之为仿射联络空间 的曲率张量.
在坐标向量场下, 可以表示为
-
还可以定义四重线性映射,如下
-
则映射 关于每一个自变量都是 线性的, 故 是黎曼流形 上的 型光滑张量场, 称之为黎曼流形 的黎曼曲率张量. 在坐标向量场下, 可以表示为
-
- 注:上述纺射联络空间 上的曲率张量 与黎曼流形 上的黎曼曲率张量 是同一个对象的不同表现形式.
- 注 .
黎曼曲率张量有如下的对称性:
-
-
-
最后一个恒等式由里奇发现,但是称为第一比安基恒等式(First Bianchi identity)或代数比安基恒等式(Algebraic Bianchi identity),因为和下面的比安基恒等式相像。
这三个恒等式组成曲率张量对称性的完整列表,也就是给定说任何满足上述恒等式的张量,可以找到一个黎曼流形在某点的曲率张量和它一样。简单的计算表明这样一个张量有 个独立分量。
另一个有用的恒等式可以由上面这些导出:
-
比安基恒等式(Bianchi identity),经常也叫第二比安基恒等式(Second Bianchi identity)或微分比安基恒等式(Differential Bianchi identity)。它涉及到协变导数:
-
给定流形某点的任一坐标表示,上述恒等式可以用黎曼曲率张量的分量形式表示为:
-
-
- 第一(代數)比安基恒等式: 或等價地寫為
- 第二(微分)比安基恒等式: 或等價地寫為
其中方括号表示对下标的反對稱化,分号表示协变导数。这些恒等式在物理中有应用,特别是广义相对论。
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