树状数组

树状数组或二元索引树（英語：Binary Indexed Tree），又以其发明者命名为芬威克樹（英語：Fenwick tree），最早由彼得·M·芬威克（Peter M. Fenwick）于1994年以《A New Data Structure for Cumulative Frequency Tables》为题发表在SOFTWARE PRACTICE AND EXPERIENCE。其初衷是解决数据压缩裡的累积频率（Cumulative Frequency）的计算问题，现多用于高效计算数列的前缀和， 区间和。它可以以$O(\log n)$的时间得到任意前缀和$\sum _{i=1}^{j}A[i],1<=j<=N$，并同时支持在$O(\log n)$时间内支持动态单点值的修改。空间复杂度$O(n)$。

树状数组
类型	二元樹
发明时间	1989年
发明者	鮑里斯·里亞布科
用大O符号表示的时间复杂度
算法 平均 最差 空间 $O(n)$ $O(n)$ 搜索 $O(\log n)$ $O(\log n)$ 插入 $O(\log n)$ $O(\log n)$

根据数组[1, 2, 3, 4, 5]来创建对应的树状数组

结构起源

按照彼得·M·芬威克的说法，正如所有的整数都可以表示成2的幂和，我们也可以把一串序列表示成一系列子序列的和。采用这个想法，我们可将一个前缀和划分成多个子序列的和，而划分的方法与数的2的幂和具有极其相似的方式。一方面，子序列的个数是其二进制表示中1的个数，另一方面，子序列代表的f[i]的个数也是2的幂。

基本操作

预备函数

定义一个lowbit函数，返回参数转为二进制后,最后一个1的位置所代表的数值。

例如，lowbit(34)的返回值将是2；而lowbit(12)返回4；lowbit(8)返回8。

将34转为二进制为(0010 0010)₂。这里的“最后一个1”指的是从$2^{0}$位往前数，见到的第一个1，也就是$2^{1}$位上的1。

程序上，(~i + 1) & i表明了最后一位1的值。

仍然以34为例，~(0010 0010)的结果是1101 1101（221），加1后为1101 1110（222），把0010 0010与1101 1110作AND，得0000 0010（2）。

lowbit的一个简便求法:（C++）

int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}

新建

定义一个数组 BIT，用以维护$A$的前缀和，则：$BIT_{i}=\sum _{j=i-lowbit(i)+1}^{i}A_{j}$

具体能用以下方式实现：（C++）

void build()
{ 
    for (int i = 1; i <= MAX_N; i++)
    {
        BIT[i] = A[i - 1];
        for (int j = i - 2; j >= i - lowbit(i); j--)
            BIT[i] += A[j];
    }
}
//注：这里的求和将汇集到非终端结点（D00形式）
//BIT中仅非终端结点i值是 第0~i元素的和
//终端结点位置的元素和，将在求和函数中求得
//BIT中的index，比原数组中大1

修改

假设现在要将$A[i]$的值增加delta，

那么，需要将$BIT[i]$覆盖的区间包含$A[i]$的值都加上delta，

这个过程可以写成递归，或者普通的循环。

需要计算的次数与数据规模N的二进制位数有关，即这部分的时间复杂度是$O(\log {N})$。

修改函数的C++写法：

void edit(int i, int delta)
{
    for (int j = i; j <= MAX_N; j += lowbit(j))
        BIT[j] += delta;
}

求和

假设我们需要计算$\sum _{i=1}^{k}A_{i}$的值。

1. 首先，将ans初始化为0，将i初始化为k。
2. 将ans的值加上BIT[i]。
3. 将i的值减去lowbit(i)。
4. 重复步骤2～3，直到i的值变为0。

求和函数的C/C++写法：

int sum (int k)
{
    int ans = 0;
    for (int i = k; i > 0; i -= lowbit(i))
        ans += BIT[i];
    return ans;
}

时空复杂度

• 初始化复杂度最优为：$O(N)$
• 单次询问复杂度：$O(\log N)$，其中N为数组大小
• 单次修改复杂度：$O(\log N)$，其中N为数组大小
• 空间复杂度：$O(N)$

扩展

树状数组可以通过维护差分数组来处理区间修改和单点查询。具体地，当我们在 $[l,r]$ 增加 $d$ 时只需执行 edit(l,d) 和 edit(r+1,-d) 。查询则与单点修改区间查询相似。

应用

求逆序对数

逆序对数是一个数列中在它前面有比它大的个数。如4312的逆序对数是0+1+2+2=5。

可以先把数列中的数按大小顺序转化成$1$到$n$的整数（離散化），使得原数列成为一个$1,2,...,n$的排列$P$，创建一个树状数组，用来记录这样一个数组$A$（下标从1算起）的前缀和：若排列中的数$i$当前已经出现，则$A[i]$的值为$1$，否则为$0$。初始时数组$A$的值均为$0$，从排列中的最後一个数开始遍历，每次在树状数组中查询有多少个数小于当前的数$P[j]$（即用树状数组查询数组$A$目前$P[j]-1$个数的前缀和）并加入计数器，之后对树状数组执行修改数组$A$第$P[j]$个数值加$1$的操作。