File:Tautochrone curve.gif

Tautochrone_curve.gif (300 × 200像素,文件大小:102 KB,MIME类型:image/gif、​循环、​80帧、​3.2秒)


摘要

描述

A tautochrone curve is the curve for which the time taken by an object sliding without friction in uniform gravity to its lowest point is independent of its starting point. Here, four points at different positions reach the bottom at the same time.



In the graphic, s represents arc length, t represents time, and the blue arrows represent acceleration along the trajectory. As the points reach the horizontal, the velocity becomes constant, the arc length being linear to time.
日期 2007年5月9日; new version 2009年8月
来源 自己的作品
作者

Claudio Rocchini

rewritten by Geek3
GIF开发
InfoField
 
本GIF 位图使用Matplotlib创作。
源代码
InfoField

Python code

#!/usr/bin/python
# -*- coding: utf8 -*-

'''
animation of balls on a tautochrone curve
'''

import os
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.patches as patches
from matplotlib import animation
from math import *

# settings
fname = 'Tautochrone curve'
width, height = 300, 200
nframes = 80
fps=25

balls = [
{'a':1.0, 'color':'#0000c0'},
{'a':0.8, 'color':'#c00000'},
{'a':0.6, 'color':'#00c000'},
{'a':0.4, 'color':'#c0c000'}]

def curve(phi):
    x = phi + sin(phi)
    y = 1.0 - cos(phi)
    return np.array([x, y])

def animate(nframe, empty=False):
    t = nframe / float(nframes - 1.)
    
    # prepare a clean and image-filling canvas for each frame
    fig = plt.gcf()
    fig.clf()
    ax_canvas = plt.gca()
    ax_canvas.set_position((0, 0, 1, 1))
    ax_canvas.set_xlim(0, width)
    ax_canvas.set_ylim(0, height)
    ax_canvas.axis('off')
    
    # draw the ramp
    x0, y0 = 293, 8
    h = 182
    npoints = 200
    points = []
    for i in range(npoints):
        phi = i / (npoints - 1.0) * pi - pi
        x, y = h/2. * curve(phi) + np.array([x0, y0])
        points.append([x, y])
    
    rampline = patches.Polygon(points, closed=False, facecolor='none',
                       edgecolor='black', linewidth=1.5, capstyle='butt')
    points += [[x0-h*pi/2, y0], [x0-h*pi/2, y0+h]]
    
    ramp = patches.Polygon(points, closed=True, facecolor='#c0c0c0', edgecolor='none')
    
    # plot axes
    plotw = 0.5
    ax_plot = fig.add_axes((0.47, 0.46, plotw, plotw*2/pi*width/height))
    ax_plot.set_xlim(0, 1)
    ax_plot.set_ylim(0, 1)
    for b in balls:
        time_array = np.linspace(0, 1, 201)
        phi_pendulum_array = (1 - b['a'] * np.cos(time_array*pi/2))
        ax_plot.plot(time_array, phi_pendulum_array, '-', color=b['color'], lw=.8)
    ax_plot.set_xticks([])
    ax_plot.set_yticks([])
    ax_plot.set_xlabel('t')
    ax_plot.set_ylabel('s')
    
    ax_canvas.add_patch(ramp)
    ax_canvas.add_patch(rampline)
    
    for b in balls:
        # draw the balls
        phi_pendulum = b['a'] * -cos(t * pi/2)
        phi_wheel = 2 * asin(phi_pendulum)
        phi_wheel = -abs(phi_wheel)
        x, y = h/2. * curve(phi_wheel) + np.array([x0, y0])
        ax_canvas.add_patch(patches.Circle((x, y), radius=6., zorder=3,
                            facecolor=b['color'], edgecolor='black'))
        ax_plot.plot([t], [1 + phi_pendulum], '.', ms=6., mec='none', mfc='black')
        
        v = h/2. * np.array([1 + cos(phi_wheel), sin(phi_wheel)])
        vnorm = v / hypot(v[0], v[1])
        # in the harmonic motion, acceleration is proportional to -position
        acc_along_line = 38. * -phi_pendulum * vnorm
        ax_canvas.arrow(x, y, acc_along_line[0], acc_along_line[1],
                 head_width=6, head_length=6, fc='#1b00ff', ec='#1b00ff')

fig = plt.figure(figsize=(width/100., height/100.))
print 'saving', fname + '.gif'
#anim = animation.FuncAnimation(fig, animate, frames=nframes)
#anim.save(fname + '.gif', writer='imagemagick', fps=fps)

frames = []
for nframe in range(nframes):
    frame = fname + '_{:02}.png'.format(nframe)
    animation.FuncAnimation(fig, lambda n: animate(nframe), frames=1).save(
        frame, writer='imagemagick')
    frames.append(frame)

# assemble animation using imagemagick, this avoids dithering and huge filesize
os.system('convert -delay {} +dither +remap -layers Optimize {} "{}"'.format(
    100//fps, ' '.join(['"' + f + '"' for f in frames]), fname + '.gif'))
for frame in frames:
    if os.path.exists(frame):
        os.remove(frame)

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当前2009年8月1日 (六) 13:152009年8月1日 (六) 13:15版本的缩略图300 × 200(102 KB)Geek3new physically correct version
2007年5月9日 (三) 06:562007年5月9日 (三) 06:56版本的缩略图300 × 200(602 KB)Rocchini{{Information |Description=Tautochrone curve animation (4 points runs over a cycloid) |Source=Own work |Date=2007-05-09 |Author=Claudio Rocchini |Permission=CC-BY 2.5 }}

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