黑克代數

黑克代數，又名黑克環，是對稱羣環（group ring for the symmetric group）$\mathbb {c} {\mathfrak {S}}_{d}$的$\epsilon -$形變，在代數數論及表示論都會出現。

定義

設

• $\epsilon \in \mathbb {C}$
• $l\geq 1$

黑克環${\mathfrak {H}}_{l}(\epsilon )$產生自：

• $\sigma _{1},\sigma _{2},......,\sigma _{l-1}$

而$\sigma _{i}$要符合：

• $\sigma _{i}\sigma _{i}^{-1}=\sigma _{i}^{-1}\sigma _{i}=1$
• 當|i-j|>1，就有 $\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}$
• 當j=i+1，就有$\sigma _{i}\sigma _{j}\sigma _{i}=\sigma _{j}\sigma _{i}\sigma _{j}$
• $(\sigma _{i}+1)(\sigma _{i}-\epsilon )=0$

當l=1時，就約定${\mathfrak {H}}_{1}(\epsilon )=\mathbb {C}$。

留意：最後一項條件中當$\epsilon =1$時，$\sigma _{i}^{2}=1$，此所謂形變。

參攷

• Vyjayanthi Chari / Andrew Pressley (1994), "A Guide to Quantum Groups", Cambridge, ISBN 0-521-55884-0 , p.332