辛钦常数
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在數論領域中,苏联數學家亚历山大·雅科夫列维奇·辛钦(Aleksandr Yakovlevich Khinchin)證明對於幾乎所有實數x,其連分數表示式的係數ai的幾何平均數之極限存在,且與x數值無關,此數值稱為辛钦常數(英語:Khinchin's constant)。
以下是x的連分數表示式
針對任意實數x,以下的等式幾乎總是為真
其中 為辛钦常數
不符合上述條件的實數包括了有理數、實係數二次方程的解(包括黃金比例 ),以及自然對數的底e。目前辛欽常數是否為無理數或代數數仍猶未可知。雖然幾乎所有實數之連分數係數的幾何平均都趨近於辛欽常數,但除了特意建構的實數外,並沒有實數被嚴格證明有此性質,僅有一些數值上的證據,像是圓周率及欧拉-马歇罗尼常数。
開放問題
- 根據數值上的證據[1][2],圓周率π、歐拉-馬斯刻若尼常數γ、以及辛钦常数本身的連分數係數ai的幾何平均數會趨近辛钦常数,不過這還沒有嚴謹的證明。
- 目前還不知道辛欽常數是有理數、代數數、無理數或超越數[3]。
相關條目
參考資料
- David H. Bailey, Jonathan M. Borwein, Richard E. Crandall. On the Khinchine constant (PDF). 1995. (原始内容 (PDF)存档于2005-05-28).
- Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall. Computational Strategies for the Riemann Zeta Function (PDF). J. Comp. App. Math. 2000, 121: p.11 [2012-11-08]. (原始内容 (PDF)存档于2006-09-25).
- Aleksandr Ya. Khinchin. Continued Fractions. New York: Dover Publications. 1997.
- Ryll-Nardzewski, Czesław, On the ergodic theorems II (Ergodic theory of continued fractions), Studia Mathematica, 1951, 12: 74–79
外部連結
- ^ Weisstein, Eric W. Euler-Mascheroni Constant Continued Fraction. mathworld.wolfram.com. [2020-03-23]. (原始内容存档于2024-01-13) (英语).
- ^ Weisstein, Eric W. Pi Continued Fraction. mathworld.wolfram.com. [2020-03-23]. (原始内容存档于2023-11-06) (英语).
- ^ 埃里克·韦斯坦因. Khinchin's constant. MathWorld.