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欧氏几何中，两点确定一条直线怎么证？

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换言之，过两点为什么不能作两条以上的直线，也不会出现一条直线也不能作的情况？

谢了。

--Whw 06:33 2006年5月19日 (UTC)

相異兩點決定一直線是歐幾里得幾何的公理（axiom），不需要證明。--百楽兎 07:09 2006年5月19日 (UTC)

在欧氏几何中是公理。但是如果没有这个前提条件呢。--用心阁（对话页） 07:18 2006年5月19日 (UTC)

在黎曼几何中，可以画无数条直线。--方洪渐 08:06 2006年5月19日 (UTC)

剛剛才發現咱們WP上就有歐幾里得幾何的條目了嘛，大家在編寫條目之餘，應該也要愛用咱們的WP--百楽兎 10:34 2006年5月19日 (UTC)

谢谢诸位帮助。

可是我看了歐幾里得幾何条目，文中所描述的第一条公理只肯定了我的问题的后半部分，却没有回答“过两点为什么不能作两条以上的直线”呀？

大致是这样的，不严密：

• 直线为两点间最短的连线：若直线a、b均为连接点A、B的直线，则A、B在a上的距离a(A, B)小于等于A、B在b上的距离b(A, B)；同理b(A, B)小于等于a(A, B)，就得到了a、b为同一条直线。--Isnow 14:22 2006年5月19日 (UTC)

• 直綫沒有長度，不存在所謂"最短"。-- 天下第一菜 請指教 2007年6月13日 (三) 05:44 (UTC)

另外，如何证明三点确定一个平面呢？难道又是立体几何的公理吗？--Whw 11:27 2006年5月19日 (UTC)

请参见平面的定义：“平面是这样一个点的集合：对这个集合中任意的三个点，这个集合包含这三个点中的两个所确定的直线”。--Isnow 14:41 2006年5月19日 (UTC)

相異三點可決定一平面用反證法就可以得證，只要引導出違反公理的結論即可。--百楽兎 15:38 2006年5月19日 (UTC)

事實上，這些都可以是公理，也可以是定理。這取決於你選擇哪些命題作爲公理了。根據選擇的公理不同，你的命題就會有不同的證明方法。--地球发动机（〠✆ - ✉✍） 18:18 2006年5月19日 (UTC)

同意地球发动机的看法。--Ross 20:34 2006年5月19日 (UTC)

不行吧。公理是不證自明的原則，定理是可以利用公理來證明的。把定理當做公理會違背邏輯，因為推導出的系統只是一個子系，意即還是屬於同一個架構下。--百楽兎 02:35 2006年5月20日 (UTC)

現代元數學認爲，沒有什麽不証自明的原則。公理系統裏面的公理只是從大量的命題中選擇出一些作爲我們推理的基礎而已。如果把定理作爲公理而取消原先的某條公理，常常會導致公理系統被減弱，這些變化在模型論裏面是主要研究的對象。參見選擇公理、連續統假設--地球发动机（〠✆ - ✉✍） 03:33 2006年5月20日 (UTC)

不是很了解你的意思，不過感覺我們是在講不同的兩回事。像這題，既然前提是“在歐氏幾何的架構”下，就不可能去推翻歐氏幾何所定下的公理吧。--百楽兎 06:06 2006年5月20日 (UTC)

简单讲，地球兄的意思就是同样“歐氏幾何的架構”可以有不同的定义，可以挑选不同的命题作为基本公理集。所谓公理无非就是被挑选为基本假设的命题。每个体系都可以有无数的选择，譬如，a,b,c都是这个系统中的命题，如果a等价于b等价于c,那么公理集{x,y,a}和{x,y,b}和{x,y,c}都是导出同一体系的，但在第一种情况a就是公理，b,c是定理，而第二种，b是公理,a,c是定理--Ross 21:40 2006年5月20日 (UTC)

這個邏輯和我是一致的，但問題是公理a會等價於定理b或c嗎？通常定理是用到兩個以上的公理所推導出來的，所以並不等價。雖然以宏觀的角度來看，將所有的命題都視為可選擇的公理是合理的，但是如果深入研究某公理後發現該公理可拆解出幾個更基本的原則，此時該公理就降階為定理，而更基本的原則就成了同一系統中的公理。我們好像離題越來越遠了……(汗)--百楽兎 01:35 2006年5月21日 (UTC)

"公理a會等價於定理b或c嗎"？這是可能的。比如當你選擇a為公理時，利用公理a和x能推導出b，但如果同樣假設b為公理，利用b和公理x能推導出a，那麼，a與b就是等價的。a與b(或其它等價的命題)中選擇其中任何一個作為公理，構建的體系是等同的。— fdcn  talk  2006年05月21日19:27 (UTC+8 03:27)

公理說"任意兩個點可以通過一條直線連接。", 這沒有錯阿,公理沒有說過"过两点为什么不能作两条以上的直线"這回事...2個點只會有1條直線,沒有人說過超過2個點會怎麼怎麼的,公理說的是"兩點確定一條直線",所以你問題的"過兩點"巳經不在公理的範疇內了!--Onsf 20:13 2006年5月27日 (UTC)

這條公理是"過兩點有且只有一條直綫"。直綫不是綫段，他沒有端點，不可能起到"連接"的作用。另外，公理中的"過"不是指超過兩個點以上的更多點，而是有"穿過"、"通過"的意思，所謂"過兩點"完全是公理内的範疇。天下第一菜請指教 2007年6月13日 (三) 05:33 (UTC)

對"綫"的重定向異議

條目綫指向此頁直綫的重定向是否不妥？這樣子綫便僅有幾何學意義了。--天下第一菜 2007年6月13日 (三) 03:42 (UTC)

• 我可以列舉出光線，繩索，紗綫，直綫等等不同的意義，是否可以考慮把條目綫（線）恢復成消歧義頁面？--天下第一菜 天下第一菜 2008年2月28日 (四) 16:03 (UTC)