容度

在数学中，容度是位势论里描述一个集合大小的概念。

定义

一如测度之于测度论，容度在某种意义下描述一个集合的大小。容度出现在许多数学领域中，特别是逼近理论或复分析。它的起源则与静电学中电容的概念有关。

对于 $\mathbb {R} ^{n}\;(n\geq 2)$ 上一个有限且带紧支集的博雷尔测度 μ ，可以抽象地定义相应的位势函数：

$p_{\mu }(z)=\int {\frac {\mathrm {d} \mu (w)}{|z-w|^{n-2}}}$

这里的 μ 在物理上可以想像成一个 $n$ 维世界里的电荷分布——至少在 $n=3$ 时吻合静电学。μ 的能量则抽象地定义为位势的总和：

$I(\mu )=\iint |z-w|^{n-2}\;\mathrm {d} \mu (w)\;\mathrm {d} \mu (z)$

当 n=2 时，两个定义中的 $|z-w|^{n-2}$ 都改取 $\log |z-w|$

设 $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ 为紧集，其容度定义作

$C(K):={\dfrac {1}{\inf _{\mu }I(\mu )}}$

其中的下确界取遍支集在 $K$ 上的所有博雷尔几率测度 μ。

二维情形

在一个黎曼曲面 M 上给定一点 $p$。若存在一个以 $p$ 为极点的格林函数，则它在 $p$ 点的一个够小开邻域 Ω 上有唯一表法

$g_{p}(x)=\log |x-p|+h_{p}(x)$

其中 $h_{p}$ 是 $\Omega -\{p\}$ 上的调和函数。

此时 $\lim _{x\rightarrow p}h_{p}(x)$ 决定 $M-\Omega$ 的容度。这些量能用来分类黎曼曲面。根据 $M$ 的曲率，可以用双曲距离或球面距离取代上述定义中的欧氏距离 $d(z,w)=|z-w|$，由此可得到双曲容量与球面容度（或称椭圆容度）。

文献

• E.D. Solomentsev, Capacity, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• E.D. Solomentsev, Robin constant, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• J. L. Doob. Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, ISBN 3-540-41206-9.