牛顿法(英语:Newton's method)又称为牛顿-拉弗森方法(英语:Newton-Raphson method),它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。

起源

牛顿法最初由艾萨克·牛顿在《流数法》(Method of Fluxions,1671年完成,在牛顿去世后于1736年公开发表)中提出。约瑟夫·鲍易也曾于1690年在Analysis Aequationum中提出此方法。

方法说明

 
蓝线表示方程 而红线表示切线。可以看出  更靠近 所要求的根 

首先,选择一个接近函数 零点 ,计算相应的 和切线斜率 (这里 表示函数 导数)。然后我们计算穿过点 并且斜率为 的直线和 轴的交点的 坐标,也就是求如下方程的解:

 

我们将新求得的点的 坐标命名为 ,通常 会比 更接近方程 的解。因此我们现在可以利用 开始下一轮迭代。迭代公式可化简为如下所示:

 

已有证明牛顿迭代法的二次收敛[1]必须满足以下条件:
 ; 对于所有 ,其中 为区间[αr, α + r],且 在区间其中 内,即   的;
对于所有  是连续的;
 足够接近根 α

然而当  处有m重根时,这时牛顿法会降为线性收敛,虽然使用牛顿法也可以继续算下去,但收敛速度会减慢。[2]

其它例子

第一个例子

求方程 的根。令 ,两边求导,得 。由于 ,则 ,即 ,可知方程的根位于  之间。我们从 开始。

 

第二个例子

牛顿法亦可发挥与泰勒展开式,对于函式展开的功能。

  次方根。

 

  

而a的m次方根,亦是x的解,

以牛顿法来迭代:

 

 

 

(或  

应用

求解最值问题

牛顿法也被用于求函数的极值。由于函数取极值的点处的导数值为零,故可用牛顿法求导函数的零点,其迭代式为

 

求拐点的公式以此类推

计算机程序

可以用程式写出牛顿法:

例题:  求x

用Python:

from math import pow
def f(x):
    y = pow(x,3)-(10*x*x)+x+1
    return y
def dx(x):
    y = (3*x*x)-(20*x)+1
    return y
x = 1
for i in range(1000):
    x = x - (f(x)/dx(x))
print(x)

用C语言:

#include <stdio.h>
#include <math.h>
double x = 1.0;
double f(double x){
    double y = pow(x,3)-(10*x*x)+x+1;
    return y;}
double dx(double x){
    double y = (3*x*x)-(20*x)+1;
    return y;}
int main (){
    for(int i=0;i<1000;i++){
    x = x - (f(x)/dx(x));}
    printf(" %f",x);
    return 0;
}

只要修改f(x)和dx(x)函数就可以解其他方程式

注解

  1. ^ 存档副本 (PDF). [2018-06-26]. (原始内容存档 (PDF)于2021-04-24). 
  2. ^ 张宏伟,金光日,施吉林,董波 (编). 计算机科学计算 2013年第2版. 北京: 高等教育出版社. 2005: 138. ISBN 9787040365955. 

外部链接