内侧三角六边形二十面体
在几何学中，内侧三角六边形二十面体是一种外观与大三角六边形二十面体十分接近的星形二十面体，由20个凹六边形组成，其参考索引为DU41。其对偶多面体为双三斜十二面体[1]。
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| 类别 | 均匀多面体对偶 抽象正多面体 | ||
|---|---|---|---|
| 对偶多面体 | 双三斜十二面体 | ||
| 识别 | |||
| 名称 | 内侧三角六边形二十面体 | ||
| 参考索引 | DU41 | ||
| 性质 | |||
| 面 | 20 | ||
| 边 | 60 | ||
| 顶点 | 24 | ||
| 欧拉特征数 | F=20, E=60, V=24 （χ=-16） | ||
| 组成与布局 | |||
| 面的种类 |  | ||
| 顶点图 | （星状图） | ||
| 对称性 | |||
| 对称群 | Ih | ||
| 图像 | |||
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在温尼尔的著作《对偶模型》（Dual Models）中，将《多面体模型》中提到的第九星形二十面体描述为外观与这种立体和大三角六边形二十面体相同[2]:42。在《五十九种二十面体》中亦无明确提及其属于哪一个立体，但可以根据前后文判断出其指的是这种立体与大三角六边形二十面体的其中之一，由于有两种外观相同的立体，也因此其中一种与之外观相同的立体有时被描述为“遗失的星形二十面体”。[3][4]
性质
内侧三角六边形二十面体具有20个面、60条边和24个顶点[5]，其中12个在外部[6]，另外十二个顶点隐没在图形在内部。其外观与大三角六边形二十面体十分接近，差别仅在内侧三角六边形二十面体隐没在图形在内部的12个顶点在大三角六边形二十面体中是位于图形表面[7]。
面的组成
内侧三角六边形二十面体的面是一种凹六边形，且与其他面互相相交、交错，而分成了十三个部分，其中有三个部分露在外面，同时也是该图形的尖角，如下图，以蓝色表示；图形中的黑线为与其他面相交的交线。
顶角性质
内侧三角六边形二十面体的顶角有两种，虽然两种都是以五个面组成的五面角，但是其组成的方式不同，一种是单纯的5个面构成的五面角，另一种是五个面以互相相交的方式构成，其顶点图为施莱夫利符号计做 {5/2} 的五角星构成。前者对应其对偶多面体双三斜十二面体中的五边形面，后者对应其对偶多面体中的五角星面。
拓朴正多面体
内侧三角六边形二十面体在拓朴中相当于五阶六边形镶嵌的商空间，其可以将作为内侧三角六边形二十面体中的凹六边形面进行拓朴变形成正六边形而构造出五阶六边形镶嵌，因此在另外一个索引中也被看作是一种抽象的正多面体[8]：
| 类别 | 抽象正多面体 |
|---|---|
| 对偶多面体 | 六阶五边形二十四面体 |
| 数学表示法 | |
| 施莱夫利符号 | {6,5}4 |
| 性质 | |
| 面 | 20 |
| 边 | 60 |
| 顶点 | 24 |
| 欧拉特征数 | F=20, E=60, V=24 （χ=-16） |
| 亏格 | 9 |
| 组成与布局 | |
| 面的种类 | 六边形 |
| 对称性 | |
| 对称群 | S5， 120元素 |
内侧三角六边形二十面体在拓朴学上由20个六边形组成，且每个顶点都是5个六边形的公共顶点，因此在拓朴学上满足抽象正多面体的定义。[8][9][10]然而这种抽象面体若是具象化为内侧三角六边形二十面体则仅能具象化一半的对称性。这种抽象正多面体可以对应到亏格为9的五阶六边形正则地区图（施莱夫利符号：{6,5}4）[11]，对应的皮特里多边形为四边形[11]。
其他四种抽象正多面体为：
| 多面体 |  内侧菱形三十面体 |
 截半大十二面体 |
内侧三角六边形二十面体 |
 双三斜十二面体 |
 凹五角锥十二面体 |
|---|---|---|---|---|---|
| 种类 | {4,5}6 | {5,4}6 | {6,5}4 | {5,6}4 | {6,6}6 |
| 顶点图 | {5}, {5/2} 
|
(5.5/2)2
|
{5}, {5/2}
|
(5.5/3)3
|
|
| 面 | 30个菱形
|
12个五边形 12个五角星
|
20个六边形
|
12个五边形 12个五角星
|
20个六边形
|
| 镶嵌 |  {4, 5} |
 {5, 4} |
 {6, 5} |
 {5, 6} |
 {6, 6} |
| χ | −6 | −6 | −16 | −16 | −20 |
虽然这些形状在几何上，面都不是正多边形，但其每个面的拓朴结构相同，且所有边等长，因此可以视为每个面都是“抽象的”正多边形。
相关多面体
大三角六边形二十面体
| 名称 | 大三角六边形二十面体 | 内侧三角六边形二十面体 |
|---|---|---|
| 图像 | 
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|
| 对称性 | 二十面体群（Ih） | |
| 参考索引 | DU47, W34, 30/59 | |
| 尤拉示性数 | F = 20, E = 60 V = 32 (χ = -8) |
F = 20, E = 60 V = 24 (χ = -16) |
| 面 |  |
|
| 对偶多面体 |  大双三斜三十二面体 |
双三斜十二面体 |
| 星状图 |  |
|
对偶复合体
内侧三角六边形二十面体与其对偶的复合体为复合双三斜十二面体内侧三角六边形二十面体。其共有44个面、120条边和44个顶点，其尤拉示性数为-32，亏格为17，有32个非凸面，在威佐夫记号中以 (3 5/3 | 5) 表示[12]。
参见
参考文献
- ^ Eric W. Weisstein. Medial Triambic Icosahedron, The Dual of the Ditrigonal Dodecadodecahedron.. 密西根州立大学. 1999-05-26 [2016-09-02]. （原始内容存档于2013-06-25）.
- ^ Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 1983, ISBN 0-521-54325-8, MR 0730208
- ^ Guy's polyhedra pages. Some lost stellations of the icosahedron. steelpillow. 2006-07-11 [2016-09-01]. （原始内容存档于2016-03-13）. Index Number: 303, Precursor: BnGn, Du Val symbol: De2f2
- ^ G. Inchbald, In search of the lost icosahedra, Math. Gaz. 86 (July 2002) pp. 208-215.
- ^ Versi-Regular Polyhedra: Medial Triambic Icosahedron. dmccooey.com. [2016-09-02]. （原始内容存档于2016-03-24）.
- ^ medial triambic icosahedron. bulatov.org. [2016-09-01]. （原始内容存档于2016-03-04）.
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Medial triambic icosahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
- ^ 8.0 8.1 David A. Richter. The Regular Polyhedra (of index two). 西密西根大学. [2013-05-21]. （原始内容存档于2016-03-04）.
- ^ Regular Polyhedra of Index Two, I （页面存档备份，存于互联网档案馆） Anthony M. Cutler, Egon Schulte, 2010
- ^ Regular Polyhedra of Index Two, II （页面存档备份，存于互联网档案馆） Beitrage zur Algebra und Geometrie 52(2):357–387 · November 2010, Table 3, p.27
- ^ 11.0 11.1 R9.16'. Regular Map database - map details, weddslist.com. [2021-10-16]. （原始内容存档于2021-10-19）.
- ^ compound of ditrigonal dodecadodecahedron and medial triambic icosahedron. bulatov.org. [2016-09-01]. （原始内容存档于2015-09-06）.