辛向量場

在數學與物理學中，辛向量場（symplectic vector field）是流保持辛形式的向量場。即如果 $(M,\omega )$ 是一個辛形式，則如果向量場 $X\in {\mathfrak {X}}(M)$ 的流保持辛結構 $(M,\omega )$，則稱為一個辛向量場。換句話說，李導數為零：

${\mathcal {L}}_{X}\omega =0.$

或者，一個向量場是辛的如果它與辛形式內乘是閉的（內乘給出從向量場到 1-形式的一個映射，因辛形式的非退化性這是一個同構）。兩個定義的等價性從辛形式的閉性與李導數用外導數表示的嘉當公式推出。

如果一個向量場與辛形式的內乘是恰當的（特別地是閉的），稱為哈密頓向量場。如果第一德拉姆上同調群 $H^{1}(M)$ 是平凡的，故所有閉形式是恰當的，所以辛向量場是哈密頓的。這就是說，一個辛向量場是哈密頓的阻礙在於 $H^{1}(M)$。特別地，單連通空間上的辛向量場是哈密頓的。

兩個辛向量場的李括號是哈密頓的，從而辛向量集合與哈密頓向量場集合各自形成一個李代數。

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