隨機過程

在機率論以及相關領域中，隨機過程（英語：Stochastic process 或 Random process）通常定義為概率空間中一列隨機變量，其中序列的指標集通常可以理解為時間。很多出現隨機變化現象的系統可以用隨機過程的數學模型所描述，例如菌群數量的變化，由熱噪聲導致的電流大小的波動，或者氣體粒子的運動。隨機過程可以應用在許多學科中，比如生物學、化學、生態學、神經科學、物理學、圖像處理、信號處理、控制論、信息論、計算機科學、電子通信和金融中。

對於實際應用和實際現象的研究也啟發了有關隨機過程的研究。例如路易·巴謝利耶（英語：Louis Bachelier）研究巴黎證券交易所的股票價格變化時使用了維納過程或布朗運動，A. K. Erlang用泊松過程研究一段時間內電話呼叫發生的次數。這兩個隨機過程是概率論中最核心的兩個過程。歷史上，在這兩人之前之後，許多人也獨立提出了各種假設下的泊松過程和布朗運動。

隨機函數（英語：Random function）^[1]一詞也常用以表示隨機過程，因為隨機過程可以視作函數空間中的一個隨機變量。隨機過程的指標通常是一維的整數或實數上的一個區間，如果指標是二維平面甚至是高維空間，則這樣一族隨機變量通常稱為一個隨機場。隨機過程的實現值也不必是實數，亦可為向量或其它量。

一般來說，常見的隨機過程有隨機遊走、鞅、馬爾可夫過程、萊維過程、高斯過程、隨機場、更新過程和分支過程。研究隨機過程通常需要藉助其它數學領域的知識。

定義

定義 —
$(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ 為一機率空間， $T$ 為一集合。如果有單射 $X:T\to {\mathcal {P}}(\Omega \times \mathbb {R} )$ ，對於所有 $t\in T$ ， $X(t)$ 均為定義 $\Omega$ 上的隨機變量，則 $X$ 稱為 $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ 上的隨機過程（stochastic process, random process）。

如果要強調 $X$ 的定義域是 $T$ 時，可仿造序列將 $X$ 本身記為 ${\{X_{t}\}}_{t\in T}$ ，並可將 $X(t)$ 記為 $X_{t}$ 。

樣本函數

定義 —
${\{X_{t}\}}_{t\in T}$ 為 $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ 上的隨機過程，若 $\omega \in \Omega$ ，則：

X_{\omega }:={\bigg \{}\langle t,r\rangle \,{\bigg |}\,(t\in T)\wedge [r=X_{t}(\omega )]{\bigg \}}

被稱為樣本點 $\omega \in \Omega$ 的樣本函數（sample function）。

性質

指標集

集合 $T$ 一般用以代表時間，稱為隨機過程的指標集或參數集，通常取為自然數或實數上的一段區間（如非負實數）。研究隨機場等問題時，集合T也可以是其它集合，例如二維歐氏空間。一般來說，隨機過程中的一些結果只對全序集成立。

狀態空間

映射X的值域稱為狀態空間，可以是自然數，實數，向量或其它空間。狀態空間裡的元素表示隨機過程可能取到的值。

樣本軌道

樣本軌道是隨機過程的一個實現的過程，由其組成隨機變量的實現值所組成。也就是說，對隨機過程 $\{X_{t}:t\in T\}$ 和一個結果 $\omega \in \Omega$ ，映射

$X(\cdot ,\omega ):T\to S$

為其樣本軌道。

增量

歷史

為了了解金融市場和研究布朗運動，在19世紀後期人們開始研究隨機過程。第一個用數學語言描述布朗運動的是數學家托瓦爾·N·蒂勒。他在1880年發表了第一篇關於布朗運動的文章。隨後，在1900年， Louis Bachelier（英語：Louis Bachelier）的博士論文「投機理論」提出了股票和期權市場的隨機分析。阿爾伯特·愛因斯坦（在他1905年的一篇論文中）和瑪麗安·一維Smoluchowski（1906年）從物理界的角度出發，把它作為了一種間接證明了原子和分子的存在。他們所描述的布朗運動方程在1908年被讓·佩蘭核實。

從愛因斯坦的文章的摘錄描述了隨機模型的基本原理：

"它必須明確假定每個單個顆粒執行的運動是獨立於所有其他的粒子的運動;它也將被認為是1的動作和相同的顆粒在不同的時間間隔是獨立的過程，只要這些的時間間隔不是非常小"

"我們引入一時間間隔 $\tau$ 蛋白考慮，相對來說這是非常小的，但是我們可觀察到的時間間隔，仍然過大，在兩個連續時間間隔 $\tau$ 蛋白，由粒子所執行的動作可以被認為是作為彼此獨立的事件"。

架構

在概率論的測量理論中，需要解決一個問題。如何構造一個Σ-代數的所有功能空間的衡量子集，然後把它有限化。為了解決這個問題，採用了 Kolmogorov擴展方法。

Kolmogorov擴展方法過程：

假定所有函數f的空間概率測度： $f:X\to Y$ 存在，那麼它可以被用來指定有限維隨機變量 $f(x_{1}),\dots ,f(x_{n})$ .的聯合概率分布。現在從這個n維概率分布，我們可以推斷出第（n - 1）維邊緣概率為 $f(x_{1}),\dots ,f(x_{n-1})$ 。但是需要注意的是兼容性狀態，即這種邊際概率分布是在相同的類作為1從完全成熟的隨機過程衍生。例如，如果該隨機過程是一個Wiener過程（在這種情況下，邊緣是指數類的所有高斯分布），但不是在一般對所有的隨機過程。這種方程稱為查普曼-洛夫方程。

柯爾莫哥洛夫擴展定理保證了隨機過程的有限維概率分布滿足查普曼 - 柯爾莫哥洛夫的兼容性條件的存在..

分離性

回想一下，在洛夫公理化中存在對於概率問題有還是沒有的不確定性。柯爾莫哥洛夫擴展首先聲明是可衡量的功能，其中有限多個坐標 $[f(x_{1}),\dots ,f(x_{n})]$ 被限制在 $Y_{n}$ 中可測量的子集所有集合。如果一個是/否有關的問題都可以通過觀察至多有限多個坐標的值回答，那麼它有一個概率的答案。

在測度理論，如果我們有一個可數無限集合測集，所有的人都那麼的聯合和交集是可測集。對於我們而言，這意味着是/否依賴於可數個坐標的問題有一個概率的答案。

參考文獻

^ Valeriy Skorokhod. Basic Principles and Applications of Probability Theory. Springer Science & Business Media. 2005: 42. ISBN 978-3-540-26312-8.

Papoulis, Athanasios & Pillai, S. Unnikrishna. Probability, Random Variables and Stochastic Processes. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. 2001. ISBN 0-07-281725-9.
Boris Tsirelson. Lecture notes in Advanced probability theory. （原始內容存檔於2008-11-28）.
J. L. Doob. Stochastic Processes. Wiley. 1953.
An Exploration of Random Processes for Engineers. Free e-book. July 2006 [2010-06-28]. （原始內容存檔於2009-04-17）.

外部連結

An 8 foot tall Probability Machine (named Sir Francis) comparing stock market returns to the randomness of the beans dropping through the quincunx pattern. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） from Index Funds Advisors IFA.com （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
Stochastic Processes used in Quantitative Finance, sitmo.com
Addressing Risk and Uncertainty

[Skorokhod2005page42-1] Valeriy Skorokhod. Basic Principles and Applications of Probability Theory. Springer Science & Business Media. 2005: 42. ISBN 978-3-540-26312-8.

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