指數增長

指數增長(包括指數衰減)指一個函數的增長率與其函數值成比例。在定義域為離散的且等差的情況下。

該圖說明了指數增長(綠色)如何超過線性增長(紅色)和冪增長(藍色)。
  指數增長
  線性增長
  冪增長

指數增長模型也稱作馬爾薩斯增長模型

基本公式

變量x指數地依賴時間t,若

 

其中常數ax的初始值,

 

並且,常數b是正的增長率,τx增長b倍所需時間:

 

τ > 0且b > 1,則x為指數增長。若τ < 0且b > 1,或τ > 0且0 < b < 1,則x指數衰減

微分方程

指數函數 滿足線性微分方程

 

則稱t時刻x的增長率與函數值x(t)成正比,且初值為:

 

對於 微分方程可以使用分離變量法求解:

 
 
 
 

考慮到給定初值:

 
 

這種解法對於 同樣適用。

對於該增長模型的非線性變體,請參考Logistic函數

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文內註釋

資料引用