凹五角锥十二面体
在几何学中，凹五角锥十二面体是一种星形多面体。 它的外形是一个Ef1g1星状的二十面体。 温尼尔在他的书中列出28种星形多面体模型，并将凹五角锥十二面体列为第三个星状的二十面体。
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| 类别 | 星形多面体 星形二十面体 | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 对偶多面体 | 自身对偶 | |||||||||||
| 识别 | ||||||||||||
| 名称 | 凹五角锥十二面体 | |||||||||||
| 参考索引 | W28, 26/59 | |||||||||||
| 性质 | ||||||||||||
| 面 | 20 | |||||||||||
| 边 | 60 | |||||||||||
| 顶点 | 20 | |||||||||||
| 欧拉特征数 | F=20, E=60, V=20 （χ=-20） | |||||||||||
| 组成与布局 | ||||||||||||
| 面的种类 |  星形六边形 | |||||||||||
| 顶点图 |  凹六边形 | |||||||||||
| 对称性 | ||||||||||||
| 对称群 | 二十面体群 (Ih) | |||||||||||
| 特性 | ||||||||||||
| 稀有 | ||||||||||||
| 图像 | ||||||||||||
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性质
外观
凹五角锥十二面体的外观为一个正十二面体的每个五边形面都被换成向内凹陷的五角锥。构造成此外观的立体可以是由12个构成正十二面体的边和30个构成向内凹陷的五角锥的边。这30条边正好能够落在某个适当大小的大星形十二面体之棱上，并涵盖了一个正二十面体的星状核。
| 星状核 | 长边 | 面 | 凸包 | 切割 |
|---|---|---|---|---|
 正二十面体 |
 大星形十二面体 |
|
 正十二面体 |
 以绿色表达其中一个六边形面 |
顶点坐标
凹五角锥十二面体的凸包是正十二面体，因此其顶点坐标与正十二面体相同：
- (±1, ±1, ±1)
- (0, ±1/ϕ, ±ϕ)
- (±1/ϕ, ±ϕ, 0)
- (±ϕ, 0, ±1/ϕ)
其中ϕ = 1 + √5/2为黄金比例。
作为星形多面体
凹五角锥十二面体作为星形多面体时，其面为一种星形六边形。整个立体共有20个面、60条边和20个顶点[1]。
| 星状图 | 星形 | 星状核 | 凸包 |
|---|---|---|---|
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 正二十面体[2] |
 正十二面体 |
作为凹多面体
凹五角锥十二面体作为凹多面体时，与五角化十二面体和小星形十二面体有相同的拓朴结构，都是用五角锥取代正十二面体的五边形面，其差别在于，五角锥的高度，接至外接球的是五角化十二面体，高度更高的是小星形十二面体，高度为负的就是凹五角锥十二面体。
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小星形十二面体 -
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正十二面体 -
倒五角化十二面体
凹五角锥十二面体
作为刻面的多面体
在几何学中，刻面是一种移除多面体的某些部分却不产生新的顶点的一个动作。凹五角锥十二面体与将正十二面体经过构建20个自我相交的六边形面的刻面所形成的形状有相同的形式。这种形式是一种稀有多面体。
其凸包的20个顶点的顶点布局与正十二面体的顶点布局相同。
-
将星形的凹五角锥十二面体中的其中一个六角星面反白显示 -
这些面可以看做是从正十二面体刻面而来
相关多面体
拓朴正多面体
凹五角锥十二面体在拓朴中相当于六阶六边形镶嵌的商空间，其可以将作为星形多面体的凹五角锥十二面体中的六角星面进行拓朴变形成正六边形而构造出六阶六边形镶嵌，因此在另外一个索引中也被看作是一种正多面体[3]：
| 类别 | 抽象正多面体 |
|---|---|
| 对偶多面体 | 六阶六边形二十面体（自身对偶） |
| 数学表示法 | |
| 施莱夫利符号 | {6,6}6 |
| 性质 | |
| 面 | 20 |
| 边 | 60 |
| 顶点 | 20 |
| 欧拉特征数 | F=20, E=60, V=20 （χ=-20） |
| 亏格 | 11 |
| 组成与布局 | |
| 面的种类 | 六边形 |
| 对称性 | |
| 对称群 | S5， 120元素 |
凹五角锥十二面体在拓朴学上由20个六边形组成，且每个顶点都是6个六边形的公共顶点，因此在拓朴学上满足抽象正多面体的定义。[3][4][5]然而这种抽象面体若是具象化为凹五角锥十二面体则仅能具象化一半的对称性。这种抽象正多面体可以对应到亏格为11的六阶六边形正则地区图（施莱夫利符号：{6,6}6）[6]，对应的皮特里多边形为六边形，并且同事具备自身对偶和自身皮特里对偶的特性[6]。
其他四种抽象正多面体为：
| 多面体 |  内侧菱形三十面体 |
 截半大十二面体 |
 内侧三角六边形二十面体 |
 双三斜十二面体 |
凹五角锥十二面体 |
|---|---|---|---|---|---|
| 种类 | {4,5}6 | {5,4}6 | {6,5}4 | {5,6}4 | {6,6}6 |
| 顶点图 | {5}, {5/2} 
|
(5.5/2)2
|
{5}, {5/2}
|
(5.5/3)3
|
|
| 面 | 30个菱形
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12个五边形 12个五角星
|
20个六边形
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12个五边形 12个五角星
|
20个六边形
|
| 镶嵌 |  {4, 5} |
 {5, 4} |
 {6, 5} |
 {5, 6} |
 {6, 6} |
| χ | −6 | −6 | −16 | −16 | −20 |
实心凹五角锥十二面体
布里居在1974年描述了一个外型与凹五角锥十二面体相似的多面体。布里居发现凹五角锥十二面体中央的部分因为重叠所以不算是凹五角锥十二面体的一部分，因而导致凹五角锥十二面体中心密度是0，因此其描述了一个有中间部分的凹五角锥十二面体[7][8]。
| 凹五角锥十二面体 | 布里居的实心凹五角锥十二面体 | |
|---|---|---|
| 星状图 |
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复合大三角六边形二十面体凹五角锥十二面体
复合大三角六边形二十面体凹五角锥十二面体是指由大三角六边形二十面体和凹五角锥十二面体重叠组合成的一种几何形状。
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其也是一种星形二十面体。
| 星状图 | 星形 | 星状核 | 凸包 |
|---|---|---|---|
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正二十面体 |
正二十面体 |
参考文献
- ^ Other Solids: Hugel's Polyhedron. dmccooey.com. [2018-08-25]. （原始内容存档于2016-08-07）.
- ^ Jürgen Meier. 11.3. Ausgehöhltes Dodekaeder. 3d-meier.de. [2022-08-21]. （原始内容存档于2022-11-29） （德语）.
- ^ 3.0 3.1 The Regular Polyhedra (of index two) （页面存档备份，存于互联网档案馆）, David A. Richter
- ^ Regular Polyhedra of Index Two, I （页面存档备份，存于互联网档案馆） Anthony M. Cutler, Egon Schulte, 2010
- ^ Regular Polyhedra of Index Two, II （页面存档备份，存于互联网档案馆） Beitrage zur Algebra und Geometrie 52(2):357–387 · November 2010, Table 3, p.27
- ^ 6.0 6.1 R11.5. Regular Map database - map details, weddslist.com. [2021-10-16]. （原始内容存档于2021-10-16）.
- ^ Guy's polyhedra pages. Some lost stellations of the icosahedron. steelpillow. 2006-07-11 [2016-08-31]. （原始内容存档于2016-03-13）. Precursor: FmFq, Du Val symbol: Ef1g1
- ^ G. Inchbald, In search of the lost icosahedra, Math. Gaz. 86 (July 2002) pp. 208-215.